Международный школьный научный вестник
Научный журнал для старшеклассников и учителей ISSN 2542-0372

О журнале Выпуски Правила Олимпиады Учительская Поиск Личный портфель

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, ОСНОВАННЫЕ НА СВОЙСТВАХ ВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИИ

Липатова С.В. 1
1 г. Калуга, МБОУ «Лицей № 9 имени К.Э. Циолковского», 10 «А» класс
Рылова И.Г. (г. Калуга, МБОУ «Лицей № 9 имени К.Э. Циолковского»)
1. Олехник С.Н. Нестандартные методы решения иррациональных уравнений // Математика в школе. – 2002. – № 7.
2. Чучаев И.И. Выпуклые функции и уравнения. //Математика в школе. – 2005. – № 5.
3. Макиева Л.А. Выпуклые функции и уравнения (Электронный ресурс) – Режим доступа: https://multiurok.ru/larisamakieva/files/issliedovatiel–skaia–rabota–vypuklyie–funktsii–i–uravnieniia.html (дата обращения 20.11.2016).

На уроках математики изучаются различные способы решения иррациональных, дробно–рациональных, целых и других уравнений. К примеру, иррациональные уравнения решались методами возведения обеих частей в одну и ту же натуральную степень; введением вспомогательных переменных; умножения обеих частей уравнения на сопряженное выражение и т.д.

В математическом анализе изучаются свойства функций, а затем они применяются при решении уравнений или неравенств, как например, монотонность. Заметим, что функции–радикал, степенная функция, логарифмическая – выпуклые функции. Причем все из них – строго выпуклые вверх/вниз. Появилась гипотеза: можно ли и это свойство применять при решении задач алгебры. Предмет исследования: приемы решения уравнений, основанные на свойствах выпуклой функции.

Цель исследования: изучить метод, основанный на свойствах выпуклых функций, позволяющий решать уравнения.

Задачи исследования:

– изучить свойства строго выпуклых функций, геометрический смысл выпуклости;

– найти применения свойств выпуклых функций при решении уравнений;

– решить уравнения с применением свойств выпуклых функций;

– провести решения уравнения различными возможными способами и выявить наиболее рациональный из них.

В ходе ознакомления с методом решения уравнений с помощью свойств выпуклых функций, опубликованном в журналах «Математика в школе» в 2002 в № 2 [1] и 2005 и в № 5 [2], а также с исследовательской работой Макиевой Л.А. «Выпуклые функции и уравнения» (Электронный ресурс) [3], был сделан вывод, что некоторые уравнения довольно легко решаются указанным методом, но ему не ставился в сравнение другой метод. В данной работе некоторые уравнения решались двумя методами для определения наиболее рационального из них.

Теоретическая часть

Определение. Функция, непрерывная на некотором промежутке, называется выпуклой вниз, если для любых точек из промежутка выполняется неравенство

lip01.wmf

Определение. Функция, непрерывная на некотором промежутке, называется выпуклой вверх (вогнутой), если для любых точек из этого промежутка выполняется неравенство

lip02.wmf

Определение. Пусть функция f(x) определена на промежутке Х. Эта функция называется строго выпуклой вниз (вверх) на Х, если для любых lip03.wmf справедливо неравенство

lip04.wmf

соответственно

lip05.wmf.

lip1.tif

Геометрически это означает, что любая точка хорды BC, отличная от точек BC, лежит выше (ниже) точки A графика функции f(x), соответствующей тому же значению аргумента. Сегменты числовой прямой с концами в точках lip06.wmf имеют общую середину.

Теорема 1. Пусть функция f(x) является строго выпуклой вниз на промежутке Х, lip07.wmf. Тогда справедливо неравенство lip08.wmf.

Доказательство. Так как lip09.wmf, то найдется величина λ, такая, что lip10.wmf и lip11.wmf и lip12.wmf. Тогда

lip13.wmf

и, значит,

lip14.wmf

Ч. т.д.

Геометрический смысл теоремы очевиден: если выполнены условия теоремы, то середина отрезка BC – точка F лежит выше середины отрезка ED – точки lip15.wmf, так как ордината точки F равна половине lip16.wmf, ордината точки G – половине lip17.wmf. Далее будем ссылаться на эти условия: lip18.wmf (1), lip19.wmf (2).

lip2.tif

Теорема 2. Если функция f(x) является строго выпуклой на промежутке Х, функции lip20.wmf, такие, что при всех x из ОДЗ уравнения (1) их значения lip21.wmf содержатся в промежутке Х и выполнено условие (2), то уравнение (1) на ОДЗ равносильно совокупности уравнений lip22.wmf. (3)

Доказательство. В самом деле, очевидно, что решения совокупности уравнений (3), содержащиеся в ОДЗ уравнения (1), будут решениями уравнения (1).

Предположим, что x0 – решение уравнения (1), не являющееся решением совокупности уравнений (3). Тогда

lip23.wmf.

Для определенности предположим, что функция f(x) является строго выпуклой вниз на промежутке Х и lip24.wmf. Тогда справедлива одна из цепочек неравенств:

lip25.wmf

Отсюда в силу теоремы 1 получаем, что либо

lip26.wmf,

либо

lip27.wmf,

что противоречит предположению. Следовательно, решения уравнения (1) являются решениями совокупности уравнений (3). Ч. т. д.

Вместо совокупности уравнений (3) в условиях теоремы 2 можно брать равносильные совокупности, например,

lip28.wmf или lip29.wmf

Конструировать уравнения можно, опираясь только на определение строго выпуклой функции. Для выделения этого класса сформулируем и докажем утверждение.

Теорема 3. Если функция f(x) является строго выпуклой на промежутке Х и lip30.wmf. Тогда равенство lip31.wmf (8) справедливо в том и только в том случае, если либо u = v, либо λ = 0, либо λ = 1.

Доказательство. Очевидно, что если либо u = v, либо λ = 0, либо λ = 1, то равенство (8) верно.

Пусть, для определенности, функция f(x) является строго выпуклой вниз на промежутке Х и lip32.wmf принадлежит промежутку Х. Допустим, что lip33.wmf. Если lip34.wmf, то равенство (8) невозможно по определению.

Предположим, что lip35.wmf и lip36.wmf. Тогда lip37.wmf и

lip38.wmf

Поэтому λ не может быть меньше 0. Следовательно, либо u = v либо λ = 0 либо λ = 1 Ч. т. д.

Геометрический смысл теоремы 3: если функция f(x) является строго выпуклой на числовой прямой и u ≠ v, то прямая, проходящая через точки lip39.wmf и lip40.wmf, пересекает график функции только в этих точках [1].

Примеры применения выпуклых функций

§ 1. Решение иррациональных уравнений

Пример 1. Решить уравнение

lip41.wmf.

Решение.

Находим ОДЗ уравнения: lip42.wmf

Пусть lip43.wmf так как lip44.wmf, значит правая часть уравнения это lip45.wmf.

Проверим выполнение условия теоремы 2:

lip46.wmf

Верно, значит, уравнение на ОДЗ равносильно равносильным совокупностям уравнений:

lip47.wmf или lip48.wmf

lip49.wmf

что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x = 1.

Пример 2. Решить уравнение

lip50.wmf.

Решение.

Находим ОДЗ уравнения:

lip51.wmf

Пусть lip52.wmf так как lip53.wmf, значит правая часть уравнения это lip54.wmf.

Проверим выполнение условия теоремы 2:

lip55.wmf

Верно, значит, уравнение на ОДЗ равносильно равносильным совокупностям уравнений:

lip56.wmf или lip57.wmf

lip58.wmf

или

lip59.wmf

что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x = 4, x = – 61.

Пример 3. Решить уравнение

lip60.wmf.

Решение.

Находим ОДЗ уравнения: lip61.wmf

Пусть lip62.wmf, lip63.wmf.

Проверим выполнение условия теоремы 2:

lip64.wmf

Верно, значит, уравнение на ОДЗ равносильно равносильным совокупностям уравнений:

lip65.wmf или lip66.wmf

lip67.wmf

полученное решение не удовлетворяет ОДЗ. Решим вторую совокупность уравнений:

lip68.wmf

что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: x = 1.

Пример 4. Решить уравнение

lip69.wmf.

Решение.

Находим ОДЗ уравнения:

lip70.wmf

Пусть lip71.wmf, lip72.wmf, так как lip73.wmf, значит правая часть уравнения это lip74.wmf.

Проверим выполнение условия теоремы 2:

lip75.wmf

Верно, значит, уравнение на ОДЗ равносильно равносильным совокупностям уравнений:

lip76.wmf или lip77.wmf

lip78.wmf

решим уравнение по теореме Виета:

lip79.wmf

Полученные решения удовлетворяют ОДЗ. Решим вторую совокупность уравнений:

lip80.wmf

полученные уравнения решений не имеют.

Ответ: x = – 3, x = 2.

Пример 5. Решить уравнение

lip81.wmf.

Решение.

Находим ОДЗ уравнения:

lip82.wmf

Пусть lip83.wmf, lip84.wmf, так как lip85.wmf, значит правая часть уравнения это lip86.wmf.

Проверим выполнение условия теоремы 2:

lip87.wmf

Верно, значит, уравнение на ОДЗ равносильно равносильным совокупностям уравнений:

lip88.wmf или lip89.wmf

lip90.wmf

решений нет. Решим вторую совокупность уравнений:

lip91.wmf

Полученное решение входит в ОДЗ.

Ответ: x = 46.

§ 2. Примеры уравнений, в решении которых участвуют функции, отличные от lip92.wmf.

Пример 6. Решить уравнение

lip93.wmf.

Решение.

Прологарифмировав обе части уравнения, получаем равносильное уравнение

lip94.wmf

Пусть lip95.wmf, lip96.wmf

Так как функция lip97.wmf является строго выпуклой вверх на lip98.wmf, функции lip99.wmf положительны при любом x и выполнено условие теоремы 2:

lip100.wmf

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

lip101.wmf или lip102.wmf

lip103.wmf

lip104.wmf

Полученные решения входят в ОДЗ.

Ответ: lip105.wmf

Пример 7. Решить уравнение lip106.wmf

Решение.

Пусть lip107.wmf lip108.wmf

Так как функция f(x) является строго выпуклой вниз на R и выполнено условие 2 теоремы 2:

lip109.wmf

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

lip110.wmf или lip111.wmf

lip112.wmf

lip113.wmf

Полученные решения входят в ОДЗ.

Ответ: lip114.wmf

Пример 8. Решить уравнение lip115.wmf

Решение.

Преобразуем уравнение в виде

lip116.wmf

Пусть lip117.wmf lip118.wmf

Так как функция f(x) является строго выпуклой вверх на lip119.wmf и выполнено условие 2 теоремы 2:

lip120.wmf

Исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

lip121.wmf или lip122.wmf

lip123.wmf

lip124.wmf

уравнение не имеет решений.

Полученные решения входят в ОДЗ.

Ответ: lip125.wmf

§ 3. Примеры уравнений, решение которых опирается на теорему 3.

Пример 9. Решить уравнение lip126.wmf

Решение.

Если предположить, что

lip127.wmf,

т.к.

lip128.wmf,

тогда уравнение может быть записано в виде (8). Поскольку функция lip129.wmf является строго выпуклой вверх на R, то по теореме 3 исходное уравнение равносильно уравнению lip130.wmf и, значит, lip131.wmf

Ответ: lip132.wmf

Пример 10. Решить уравнение

lip133.wmf

Решение.

Если предположить, что

lip134.wmf,

т.к.

lip135.wmf

тогда уравнение может быть записано в виде (8). Поскольку функция lip136.wmf является строго выпуклой вниз на R, то по теореме 3 исходное уравнение равносильно уравнению lip137.wmf и, значит, lip138.wmf

Ответ: lip139.wmf

§ 4. Пример уравнения, опирающегося на теорему 1.

Пример 11. Решить уравнение lip140.wmf, где a ≠ b и lip142.wmf.

Решение.

Положив

lip143.wmf,

замечаем, что уравнение относится к виду (1). Поскольку функция lip144.wmf является строго выпуклой вниз на R и при всех x выполнено условие (2), то уравнение равносильно совокупности уравнений lip145.wmf Cледовательно, оно имеет два решения lip146.wmf.

Ответ: lip147.wmf.

Сравнение способов решения некоторых уравнений

Пример 1. Решить уравнение

lip148.wmf.

Решение.

Находим ОДЗ уравнения:

lip149.wmf

Возводим двукратно обе части уравнения в квадрат:

lip150.wmf

Тогда

lip151.wmf

Первое уравнение: lip152.wmf Второе уравнение корней не имеет.

Ответ: x = 1.

Пример 5. Решить уравнение

lip153.wmf.

Решение.

Находим ОДЗ уравнения:

lip154.wmf

Представим левую часть уравнения в виде разности степеней и, так как показатель степеней удовлетворяет условиям: lip155.wmf, воспользуемся неравенством Бернулли:

lip156.wmf

lip157.wmf

lip158.wmf

Получаем уравнение, записанное в виде:

lip159.wmf

А это возможно, если lip160.wmf

Ответ: x = 46.

Данное решение подразумевает такой подбор значений линейных двучленов, чтобы решалась система двух линейных уравнений.

Пример 6. Решить уравнение lip161.wmf.

Решение.

Преобразуем данное уравнение: lip162.wmf

Решим его методом неопределенных коэффициентов:

lip163.wmf

Положим, что lip164.wmf Если lip165.wmf то lip166.wmf.

Тогда lip167.wmf

Итак, lip168.wmf

Значит, lip169.wmf

Ответ: lip170.wmf

Как видно, знание свойств выпуклых функций упрощают решение уравнений, можно избежать громоздких вычисление и сложных преобразований уравнения. Заметим, что при решении первого уравнения вторым способом возможно допустить ошибки при расчете (двукратном возведении в квадрат, решении квадратных уравнений).

Заключение

В первом параграфе рассматривались уравнения вида lip171.wmf, где a, b, d – числа, a ≠ b. При решении иррациональных уравнений может возникнуть сложность, которую не всегда возможно преодолеть. Например, при решении предложенным способом уравнения lip172.wmf необходимо, чтобы lip173.wmf, где lip174.wmf, о чем трудно догадаться. Сложность использованного метода при решении состоит также в «угадывании» представления числа d в виде lip175.wmf причем lip176.wmf

Решение традиционным способом уравнений занимает больше времени, предполагает большое количество вычислений (а, следовательно, и ошибок в них). К тому же, при двукратном возведении в квадрат получаем «лишние» корни, которые нужно обязательно проверять. При использовании неравенства Бернулли в решении иррационального уравнения создалась «трудность» на составление совместной системы двух линейных уравнений.

Способ с использованием свойств выпуклых функций позволяет решить «громоздкие» уравнения (а также трансцендентные). Но так как этот способ – эмпирический, его не всегда можно использовать.

Конструировать уравнения можно, опираясь только на определение строго выпуклой функции.

Таким образом, каждый из способов имеет свои плюсы и минусы, и только опыт научит правильно ими пользоваться.


Библиографическая ссылка

Липатова С.В. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, ОСНОВАННЫЕ НА СВОЙСТВАХ ВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИИ // Международный школьный научный вестник. – 2017. – № 3-1. – С. 98-106;
URL: http://school-herald.ru/ru/article/view?id=234 (дата обращения: 17.07.2019).