Международный школьный научный вестник
Научный журнал для старшеклассников и учителей ISSN 2542-0372

О журнале Выпуски Правила Олимпиады Учительская Поиск Личный портфель

ЛИСТ МЕБИУСА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ

Спицын И. 1
1 г. Тюмень, ГАОУ Тюменской области «Гимназия российской культуры», 7 «Б» класс
Барш О.Н. (Тюмень, ГАОУ Тюменской области «Гимназия российской культуры»)
1. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории /пер. с нем. и доп. Погребысского И.Б.
2. О’Коннор Дж.Дж., Робертсон Э.Ф. Мёбиус, Август Фердинанд/
3. Август Мёбиус. – http://www.calend.ru/person/2637.
4.Статья: Что такое лист Мёбиуса?. – http://www.genon.ru.
5. Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь / Изд-во «Педагогика», 1987. – C. 42–43.
6. Леонова О.А. Трогаем бесконечность. Мебиус, Клейн и другие // Введение в топологию «Лист Мёбиуса».
7. Старохамская Ю.А. Что такое лента Мёбиуса и зачем ее надо резать: Разработка ПО 2009. – http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-13219/.
8. Топологические парадоксы. – http://www.log-in.ru/articles/1360/.
9. Разрезание бутылки Клейна (The Klein Bottle). – http://video.yandex.ru/seapch.xml text.
10. Элементы топологии на примере листа Мёбиуса. – http://sola.narod.ru/top.htm
11. Кордемский Б.А. Топологические опыты своими руками // Квант. – 1974. – №3. – C. 73–75.
12. Преобразования Мебиуса. – http://www.smartvideos.ru/mebius-transfor.
13. Искусство и технология. – http://dik.academic.ru/dic.nsf/ruwiki.
14. Эксперименты с листом Мёбиуса: Разработка ПО, 2009. – http://oksla.narod.ru/experiments.html.

Данная статья является реферативным изложением основной работы. Полный текст научной работы, приложения, иллюстрации и иные дополнительные материалы доступны на сайте VI Международного конкурса научно-исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке» по ссылке: https://school-science.ru/6/7/37706.

Существуют научные знания и явления, которые привносят в обыденность нашей жизни тайну и загадку. Петля Мёбиуса относится к ним в полной мере.

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое «поверхность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Да! Это односторонняя поверхность. Пример такой поверхности – таинственный и знаменитый лист Мёбиуса.

Лента Мебиуса, которую также называют петлей, поверхностью или листом, – это объект изучения такой математической дисциплины, как топология. Топология не входит в учебную программу математики, но на мой взгляд представляет большой интерес. Поэтому я решил расширить знания по математике и поделиться ими с учащимся гимназии, на примере изучения и исследования листа Мёбиуса.

Современная математика замечательно описывает при помощи формул все ее свойства и особенности. А вот применение этой ленты в обычной жизни заставляет человека задуматься, в каких областях производства и видах деятельности она применяется. А я как житель своего города Тюмени, задумался о ее применении в нашем регионе. Оказывается, обычные люди, слабо разбирающееся в топонимике и других геометрических премудростях, практически ежедневно сталкиваются с предметами, изготовленными по ее образу и подобию, даже не подозревая об этом.

Цель моей исследовательской работы: исследовать лист Мёбиуса, его свойства, как один из объектов топологии.

Объект исследования: лента Мёбиуса.

Для достижения поставленной цели мною решались следующие задачи:

1. Найти и изучить различный материал и научную литературу о математической поверхности – лента Мёбуса. Провести анализ изученной литературы.

2. Изготовить модель, с помощью которой можно будет исследовать ленту Мебиуса, ее свойства.

3. Установить области применения ленты Мёбиуса и убедиться в том, что она нашла применение во многих привычных для нас сферах жизни.

4. Определить и представить в каких отраслях производства и видах деятельности Тюменской области она применяется.

Значимость изучения и следования моей темы заключается в том, чтобы обобщить мнения ученых, изучить разнообразные свойства и сюрпризы ленты Мёбиуса и выдвинуть свое личное отношения к данному объекту исследования. В ходе моего исследования анализируются особенности применения и необычность геометрической поверхности. Большой интерес составляет, то что у ленты Мёбиуса только одна поверхность.

Историческая справка

spic-1.tif

«Отцом» открывателем этой необычной ленты признан немецкий математик Август Фердинанд Мебиус, ученик Гаусса, написавший не одну работу по геометрии, но прославившийся преимущественно открытием односторонней поверхности в 1858 году Есть расхожее мнение, что прообразом модели «бесконечной петли» стала неверно сшитая лента служанкой профессора Августа Мебиуса.

Удивительным является тот факт, что ленту с одной поверхностью в тот же самый 1858 год открыл другой ученик Гаусса – талантливый математик Иоганн Листинг, придумавший термин «топология» и написавший серию основополагающих трудов по этому разделу математики. Однако свое название необычная лента все же получила по фамилии Мебиуса.

spic-3.tif

На самом деле, лента была открыта давным-давно еще в древнем мире. Одним из подтверждений служит находящаяся во Франции, в музее города Арль древнеримская мозаика с такой же перекрученной лентой. На ней нарисован Орфей, очаровывающий зверей звуками арфы. На фоне неоднократно изображен орнамент с перекрученной лентой.

spic-2.tif

Лист Мёбуса начало новой науки топологии

С того момента, как немецкий математик обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией.

Топология это одна из разделов геометрии и является самым «молодым» из разделов современной геометрии. В ней изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях, (растяжение, сжатие), и не допускают разрывов и склеивания.

С точки зрения топологии баранка и кружка одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины можно перейти от одной из этих фигур к другой. А вот баранка и шар – уже будут разными объектами: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Среди букв русского алфавита тоже есть топологически одинаковые фигуры: А-Д, Г-С, С-П, З-Э, Т-У.

Лента Мёбиуса один из объектов топологии. Удивительные свойства ленты Мёбиуса – она имеет один край, одну сторону, не связана с ее положением в пространстве, с понятием расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер.

Лента Мёбиуса и её свойства

Как сделать ленту Мёбиуса?

Ленту Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще. Изучение ленты Мёбиуса – хорошее введение к элементам топологии.

Лист Мёбиуса относится к числу математических неожиданностей. Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВ В1А1, перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и А1В1, т.е. так, что совместятся точки А и В1 и точки А1 и В.

Получим перекрученное кольцо. И задаемся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона.

spic-4.tif

Свойства петли Мёбиуса

Ленте Мебиуса присущи следующие свойства, не меняющиеся при ее сжимании, разрезании вдоль или сминании:

1. Односторонность – топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него. Если двигаться по поверхности Ленты Мебиуса в одном направлении, не пересекая ее границ, то, в отличие от двусторонних поверхностей (например, сферы и цилиндры), попадаешь в место, перевернутое по отношению к исходному. Если двигать по этой ленте окружность, одновременно обходя ее по часовой стрелке, то в начальном положении направление обхода станет против часовой стрелки.

spic-5.tif

2. Непрерывность – это ещё одно топологическое свойство. С топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом муравью на гравюре Эшера ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.

spic-6.tif

3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной. Чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. А лист Мебиуса? Конечно двусвязен, т. к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

Количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен и т.д.

spic-7.tif

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

spic-8.tif

Таким образом, лента Мёбиуса – простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края.

Ленту Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности ∞, так как находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Правда, это не соответствует действительности, ведь символ ∞ использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.

Опыты с листом Мёбиуса

Для подтверждения всех комбинаций и свойствах листа Мёбиуса я решил практически совершить ряд опытов с листом Мёбиуса, в которых постарался ответить на интересующие меня вопросы, и сделать определённые выводы.

Для проведения опытов, мы с дедушкой и папой изготовили на станке специальную модель, подобно ленте сборочного конвейера. Так же я подготовил достаточное количество бумажных лент, клей и ножницы, краски и ручка (приложение 1, 2).

Опыт № 1 (проверка свойства – односторонность)

В наше время мы привыкли встречаться с двусторонними предметами (объектами, фигурами). Изучив свойства ленты Мёбиуса и узнав, чтобы она односторонняя решил это проверить.

С помощью разработанного и изготовленного совместно с моим дедушкой механизма, демонстрирующего «Петлю Мёбиуса», я провел опыт доказывающий, что лист (лента) Мёбиуса имеет только одну сторону.

С помощью механизма прокручиваем ленту и одновременно раскрашиваем ее поверхность.

Результат: Окрасилась вся поверхность ленту, хотя я ее не переворачивал. Опыт показал нам, что у петли Мёбиуса имеется всего лишь одна сторона, а не две (приложение 1).

Опыт № 2 (проверка свойства – непрерывность).

В центре ленты Мёбиуса я нарисовал точку. С помощью механизма прокрутил ленту, и в это же время провел непрерывную линию от точки до того момента пока не вернулся к этой же точке.

Результаты: непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке. А это значит, что поверхность листа Мёбиуса является непрерывной. См. приложение № 2

Опыт № 3 (проверка на количество краёв в листе Мёбиуса).

Закрасил непрерывной линией только один край колец как обычного кольца, так и кольца Мёбиуса.

Результаты: Обычное кольцо: один край кольца был закрашен, а второй край нет. Значит, имеет два края, так как второй остался чистым. Кольцо Мёбиуса: линия края получилась, оказалась закрашена вся. Следовательно, лист Мёбиуса имеет один край (приложение 3).

ЭТО УДИВИТЕЛЬНО: Лист Мёбиуса действительно непрерывен, односторонен и имеет один край.

Опыты с разрезанием листа Мёбиуса

Опыт № 1 (что же произойдет, если разрезать обычное кольцо и кольцо Мёбиуса?).

Разрезал данные кольца посередине.

Результаты Обычное кольцо: получилось 2 кольца с одинаковой длиной и шириной (ширина будет одинакова, только если разрезать пополам, а длина всегда остается неизменной).

Кольцо Мёбиуса: получилось одна лента с двумя полуоборотами, причем длина которой в два раза больше, а ширина в два раза уже. См. приложение № 4

Опыт № 2 (что же произойдет, если разрезать ленту, отпуская от края приблизительно на треть её ширины).

Отступил от края лентяя 1/3 её ширины и порезал по этой линии.

Результат: получаются две ленты, одна-более тонкая лента Мебиуса, другая – длинная лента с двумя полуоборотами.

См. приложение № 5

Опыт № 3 (что же произойдет, если разрезать лист (ленту) на 4 равные полоски по трем линиям).

Результат: получим две ленты с двумя полуоборотами. См. приложение № 6

Опыт № 4 (что произойдет, если разрезать лист (ленту) на 6 равных частей по 5 линиям).

Результат: получим три ленты с двумя полуоборотами завязанные в узел). См. приложение № 7

Опыт № 5 (что произойдет, если разрезать лист (ленту) с тремя полуоборотами)

Результат: получится лента завитая в узел трилистника (приложение 8).

Совершенно неожиданные вещи происходят с бумажной полоской под названием лист Мёбиуса. В дальнейшем я продолжу опыты с перекручиванием колец и двойными кольцами.

Итоги опытов с разрезанием листа Мёбиуса

На сколько полосок разрезан листа Мебиуса

Что получилось при разрезании

 

Большие кольца

Маленькие кольца

2

1 двухстороннее

0

3

1 двухстороннее

1 одностороннее

4

2

0

5

2

1

6

3

0

7

3

1

8

4

0

9

4

1

10

5

0

n

n:2

Остаток от n:2

На основе проведенных мной опытов можно сделать следующие выводы:

1. Лента Мёбиуса имеет только один край.

2. Имеет только одну поверхность.

3. Объекты по поверхности ленты будут двигаться бесконечно.

4. Лист Мёбиуса – топологический объект. Как и любая топологическая фигура, лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают.

Применение листа Мебиуса в жизни

Научное применение

Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств

Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная – это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку.

spic-9.tif

Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.

spic-10.tif

По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение – это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.

Лист Мёбиуса в науке и технике

Патентные службы вынуждены были познакомиться с поразительными свойствами листа Мебиуса – в разное время и в разных странах зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит все та же односторонняя поверхность.

В 1923 году знаменитый американский изобретатель Ли де Форест, который придумал трехэлектродную лампу – триод, предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу «с двух сторон». Ему выдали патент № 1442632.

Изобрели магнитофон – и сразу же нашлись сообразительные люди, которые придумали особые кассеты, где магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Ясно, что тогда можно записывать и считывать подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с магнитофона и не меняя их местами, а значит, время непрерывного звучания увеличивается ровно вдвое. (Речь идет, разумеется, о так называемой «непрерывной ленте», то есть замкнутой в кольцо, вроде автоматических телефонных часов или милицейских лозунгов о безопасности движения, передаваемых через репродукторы патрульных машин.).

В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свидетельство № 236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной.

Ту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем устройстве для магнитной дефектоскопии (им выдано авторское свидетельство № 259449).

В 1963 году патентное ведомство США зарегистровало целых два «практически геометрических» изобретения. Некто Джакобс поставил свои знания топологии на службу химчистки – он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «работая» при этом обеими своими сторонами.

А Ричард Дэвис, физик из американской корпорации «Сандиа» в Альбукерке, изобрел электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.

spic-14.tif spic-11.tif

Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.

Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них – это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.

spic-12.tif

spic-13.tif

Заключение

Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни.

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям.

Работая над проектом, я пришёл к выводу, что простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства. Мной была проделана работа по доказательству некоторых свойств ленты Мебиуса. Изучались свойства ленты на наглядных примерах. В результате исследования обнаружилось, что лента Мёбиуса нашла применение во многих привычных для нас сферах жизни. Проведенные мною эксперименты подтвердили гипотезы и показали, насколько важно значение ленты Мёбиуса в жизни современного человека.

Я убеждён, что данная тема будет актуальна еще долгое время, и будут открываться все новые и новые факты, подтверждающие присутствие и влияние листа Мёбиуса на нашу жизнь.


Библиографическая ссылка

Спицын И. ЛИСТ МЕБИУСА И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ // Международный школьный научный вестник. – 2019. – № 1-3. – С. 387-393;
URL: http://school-herald.ru/ru/article/view?id=897 (дата обращения: 26.11.2020).