Введение

Теорема о четырёх красках утверждает, что любую карту на сфере можно раскрасить не более чем четырьмя красками так, чтобы любые две области с общим участком границы были раскрашены в разные цвета. Стыки нескольких областей в одной точке общей границей не считаются [1].

Проблема была сформулирована в 1852 году Ф. Гутри, который заметил, что карту Англии можно раскрасить четырьмя красками, но доказать гипотезу не смог. В 1879 году А. Кэмпе опубликовал доказательство, однако уже в 1880 году в нём была найдена ошибка [2]. В 1977 году К. Аппель и У. Хакен получили доказательство с помощью компьютера, сведя задачу к перебору 1936 частных случаев; машинное время составило около 2000 часов [2]. Это была первая математическая теорема, доказанная неклассическим способом. В 2005 году результат подтвердил Дж. Гонтир [3].

Проблема исследования определяется необходимостью установить, сохраняется ли актуальность проблемы четырёх красок в современной математике и определить класс задач, для которых метод раскраски областей является оптимальным инструментом решения.

Актуальность темы обусловлена тем, что теорема о четырёх красках, доказанная в 1977 году с помощью компьютера, до сих пор остаётся предметом дискуссий в математическом сообществе: компьютерная часть доказательства не поддаётся ручной проверке, а традиционная часть длинна и сложна. Кроме того, метод раскраски областей, основанный на практическом применении теоремы, позволяет наглядно и эффективно решать прикладные, олимпиадные задачи и задачи повышенного уровня сложности, что делает его востребованным в школьном математическом образовании.

Цель исследования:проанализировать возможности применения теоремы о четырёх красках и метода раскраски для решения прикладных и математических задач.

Задачи исследования:

1. Изучить историю возникновения проблемы четырёх красок и её практическое применение.

2. Проверить возможность раскраски реальных карт (России, Омской области) четырьмя красками.

3. Определить, сколько красок требуется для раскраски карт с различным числом смежных областей.

4. Выделить математические задачи, решаемые методом раскраски, и рассмотреть способы их решения.

5. Изготовить пособие «Четыре краски для раскраски» для обучающихся 5–8 классов.

Объект исследования:теорема о четырёх красках.

Предмет исследования:условия и возможности практического применения теоремы для решения задач методом раскраски.

Гипотеза:применение метода раскраски для решения задач повышенной сложности за счёт наглядности и оригинальности позволяет значительно упростить их решение.

Методы исследования: работа с учебной, научно-популярной литературой и ресурсами сети Интернет; наблюдение, сравнение, анализ, синтез, эксперимент (в том числе компьютерный); беседы с учителями математики, информатики и географии.

Результаты и обсуждение

История проблемы

Теорема о четырёх красках была сформулирована в 1852 году Фрэнсисом Гутри. Он заметил, что карту Англии можно раскрасить четырьмя красками, но доказать это для любой карты не смог. Гипотеза была передана математику Августу де Моргану, однако долгое время казалась настолько очевидной, что не требовала доказательства [1].

В 1879 году Альфред Кэмпе опубликовал доказательство гипотезы, но уже через год в нём была найдена ошибка. С этого момента начался долгий период поисков: одни математики пытались доказать теорему, другие — опровергнуть её. К концу XIX века было установлено, что любая карта раскрашивается тремя красками, а самая сложная — пятью, но случай с четырьмя красками оставался нерешённым [2].

В 1964 году профессор В. А. Горбатов предложил классическое доказательство объёмом около 30 страниц, но оно не получило ни подтверждения, ни опровержения. В апреле 1975 года М. Гарднер в журнале Scientific American сообщил об открытии контрпримера к теореме, что усилило интерес к проблеме [2].

В 1977 году Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен получили доказательство с помощью компьютера. Задача была сведена к перебору большого числа частных случаев: компьютер рассмотрел 1936 карт за 2000 часов машинного времени, объём вычислений составил около 400 страниц. Это была первая математическая теорема, доказанная неклассическим способом [2]. В честь этого события была выпущена марка с надписью «Четырёх цветов достаточно» [3].

В 1997 году группа американских учёных предложила более простое доказательство, но его идеи были аналогичны, а главным помощником оставался компьютер. В 2005 году результат подтвердил Джордж Гонтир с использованием специализированного программного обеспечения [3].

Таким образом, теорема о четырёх красках стала первой теоремой, доказанной с помощью компьютера. Однако у части математиков это вызвало недоверие. А. В. Самохин пишет: «Компьютерную часть доказательства невозможно проверить вручную, а традиционная часть длинна и сложна настолько, что её никто целиком не проверял. Между тем доказательство, не поддающееся проверке, есть нонсенс» [3].

Игра «Четыре краски»

Логическая игра «Четыре краски» для двух игроков предложена Стивеном Барром. Игроки по очереди рисуют пустые области и закрашивают области соперника одним из четырёх цветов; области, имеющие общую границу, должны быть раскрашены в разные цвета. Проигрывает тот, кто вынужден взять пятую краску [2]. Онлайн-игра «4 краски» фонда «Математические этюды» предлагает раскрасить карту России в четыре цвета так, чтобы никакие два соседних региона не были покрашены в один цвет.

Вывод: игра увлекает и позволяет увидеть, что математика может быть интересной, но доказать теорему посредством игры невозможно — она позволяет только понять суть проблемы.

Проверка теоремы на реальных картах

Для проверки гипотезы Ф. Гутри была взята карта России. При раскраске было установлено, что её нельзя раскрасить тремя красками. Рассмотрим четыре территории: Чукотский автономный округ, Камчатский край, Республику Якутия и Магаданскую область. Чукотский автономный округ окружён только тремя этими территориями. Если покрасить Чукотку первым цветом, то для Камчатского края, Якутии и Магаданской области потребуется ещё три цвета. Подобных расположений на карте России встретилось несколько. Это доказывает, что трёх красок недостаточно.

Затем была предпринята попытка раскрасить карту Омской области, состоящую из 32 районов. Раскрашивание в произвольной форме каждый раз приводило к неудаче: для последней области четырёх красок не хватало. Тогда было решено начать с центральной области и вокруг неё против часовой стрелки раскрашивать смежные районы, каждый раз расширяя круг. В результате карта Омской области была успешно раскрашена четырьмя красками. Этот опыт подтвердил теорему на практике.

Практические выводы о числе необходимых красок

В ходе экспериментов было установлено, что для правильной раскраски областей всегда хватало не более пяти красок, но вопрос стоит о четырёх. Была поставлена задача: определить опытным путём, сколько стран могут касаться друг друга напрямую и сколько красок потребуется для их раскраски. Результаты представлены в таблице 1.

Таблица 1. Взаимное расположение стран и необходимое число цветов

Из таблицы 1 следуют практические выводы:

1. Четыре страны — максимальное число стран, напрямую примыкающих друг к другу так, чтобы каждая имела общую границу с другими.

2. При раскрашивании карт встречаются преимущественно 2-, 3- и 4-цветные; пятый цвет не используется.

3. Форма карт не влияет на раскраску.

4. Чтобы определить, сколько цветов потребуется, надо найти любую вершину внутри карты и посчитать, сколько стран к ней подходит.

Была также установлена зависимость числа красок от структуры карты (таблица 2).

Таблица 2. Зависимость числа красок от структуры карты

Применение метода раскраски к решению задач

Практическая ценность теоремы особенно ярко проявляется при решении олимпиадных задач. Идея метода раскраски состоит в том, что мы делим математические объекты на группы, наделяя их некоторыми свойствами. Каждой группе ставим в соответствие свой цвет, а затем составляем цветовую модель, которая помогает найти правильное решение. Многие задачи повышенного уровня сложности связаны с раскрасками. Мы классифицировали их по признаку «наличие раскраски».

В работе над решением задач мы следовали рекомендациям: определить, какие идеи привели к решению; выяснить, какие исходные данные были использованы, что произойдёт, если некоторые условия изменить; вывести следствия и сделать выводы. При комплектовании сборника мы не брали задачи, решение которых было разобрано в изучаемой литературе, а только те, которые предлагались для самостоятельного решения.

Разработанное пособие «Четыре краски для раскраски» содержит:

— правила игры «Четыре краски»;

— примеры раскраски карт России и Омской области;

— таблицы зависимости числа красок от структуры карты;

— подборку олимпиадных задач, решаемых методом раскраски.

Пособие получило высокую оценку учителей, а часть ребят проявили заинтересованность в изучении метода раскраски для подготовки к олимпиаде по математике.

Выводы

В процессе работы была изучена история теоремы четырёх красок, проверена возможность её практического применения на реальных картах, выделены математические задачи, решаемые методом раскрасок, и рассмотрены способы их решения.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

1. Подтверждена возможность раскраски карты России и карты Омской области четырьмя красками.

2. Установлено, что форма карт не влияет на число необходимых красок.

3. Определены условия, при которых для раскраски достаточно 2, 3 или 4 красок.

4. Разработано пособие «Четыре краски для раскраски», которое может быть использовано при подготовке к олимпиадам и на дополнительных занятиях по математике.

Таким образом, гипотеза проекта полностью подтверждена: применение метода раскраски для решения задач повышенной сложности позволяет значительно упростить их решение за счёт наглядности и оригинальности. Цель проекта достигнута.