Введение
Каждый школьник должен уметь вычислять без помощи калькулятора. Этот навык нужен при ответе у доски, на контрольных, олимпиадах, при сдаче ОГЭ и ЕГЭ, везде, где требуется выполнить вычисления за ограниченное время.
Цель исследования
Цель работы состоит в изучении методов быстрого счета.
Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:
1. Изучить литературу по теме исследования.
2. Выяснить, что необходимо знать и уметь, для освоения приемов быстрого счета.
3. Познакомиться с техниками быстрого счета.
4. Научиться применять техники быстрого счета, адаптировать их под свои потребности.
Предметом исследования являются алгоритмы быстрых вычислений.
Была выдвинута гипотеза, заключающаяся в том, что владение приемами и алгоритмами быстрого счета позволяет увеличить скорость вычислений.
Материал и методы исследования
В работе были использованы следующие методы исследования:
- анализ,
- обобщение,
- доказательство.
В качестве источников информации были использованы приемы счета Якова Исидоровича Перельмана [1], Якова Георгиевича Трахтенберга [2], Георгия Николаевича Бермана [3].
Мозг и тренинг счета
Умение быстро считать помогает быстро обрабатывать и анализировать информацию [4]. Мозг работает путём передачи сигналов по нейронным сетям. Эти сложные нейронные связи лежат в основе функционирования мозга и составляют основу интеллекта человека [5].
Регулярный тренинг счета стимулирует нейронные пути и улучшает концентрацию внимания [6]. Доказано, что тренировка счета повышает активность головного мозга, развивая при этом память и мышление [7].
Чтобы быстро считать, нужно научиться без затруднений выполнять сложение и вычитание в пределах 20, знать таблицу умножения. Для запоминания таблицы умножения и сложения удобно использовать приемы мнемотехники [8].
Тренировка с использованием числовых таблиц Шульте, повышает способность формирования навыка быстрого счета [4].
Для формирования навыка счета хорошо работает упражнение по устному построению арифметической прогрессии. Облегчает вычисления и, следовательно, увеличивает скорость счета навык выявления закономерностей, умение группировать слагаемые и множители, раскрывать скобки, выносить множитель и делитель за скобку [9].
Любые упражнения, направленные на устный счет больших чисел, являются отличной зарядкой для ума [3].
Алгоритмы быстрого умножения чисел
На первый взгляд, применение методик быстрых вычислений похоже на демонстрацию фокусов [10]. Изучая разные способы быстрого счета, хотелось понять каким образом получаются эти алгоритмы. Некоторые способы, например, умножение на 11, легко понять, рассмотрев умножение в столбик. Для понимания других способов быстрых вычислений потребовались доказательства.
1. Умножение чисел с равным количеством десятков
Рассмотрим умножение чисел, имеющих одинаковое количество десятков.
(1)
Имеем
(2)
Получаем правило.
Правило 1. Чтобы перемножить два числа с равным количеством десятков, необходимо сумму одного множителя и единиц другого множителя умножить на произведение 10 и количества десятков, затем прибавить произведение единиц множителей.
Примеры:
Этот прием наиболее эффективен при вычислении квадратов чисел в пределах 20.
Например,
.
Заметим, что формула (2) упростится, если сумма единиц множителей равна 10.
Рассмотрим , где 
. Из (2) получим
(3)
Следствие 1. Чтобы найти произведение чисел с равными количеством десятков и с суммой единиц равной 10, нужно перемножить количество десятков на количество десятков, увеличенное на 1, и приписать произведение единиц.
Пример 1. Вычислить произведение чисел 63 и 67.
Вычисляем
Приписываем 
, получаем
Пример 2. Вычислить произведение чисел 123 и 127.
По Правилу 1 вычисляем
Приписываем , ответ
Следствием Правила 1 является известный способ вычисления квадратов чисел, которые оканчиваются на «5».
Из (3) имеем
(4)
Следствие 2. Чтобы возвести в квадрат число, которое оканчивается на 5, нужно перемножить количество десятков на количество десятков, увеличенное на 1, и приписать 25.
Пример 3. Вычислить квадрат числа 85.
Применим Следствие 1. Сначала вычисляем
Приписываем 25, получаем
Пример 4. Вычислить квадрат числа 175.
Применим Следствие 1. Сначала по Правилу 1 вычислим
Приписываем 25, получаем
Следствие 2 является частным случаем Следствия 1.
Отметим, что при a, не равном 1, 2, 10, 20 и т.д. применение Правила 1 требует напряжения, и скорость вычислений в сравнении с умножением в столбик не возрастает.
2. Умножение чисел с равными опорными числами
Остановимся далее на случаях, которые дают наибольшее упрощение счета. Назовем круглое число опорным для множителя, если множитель отличается от опорного меньше чем на 10. Правило 1 соответствует случаю, когда оба множителя больше опорного числа.
Рассмотрим случай, когда оба множителя меньше опорного.
Аналогично (2) получим
(5)
Получаем
Правило 2. Для нахождения произведения двух множителей с равными опорными числами и не превышающих опорное число, следует из одного множителя вычесть величину недостающих единиц до опорного числа другого множителя, результат умножить на опорное число и прибавить произведение недостающих до опорного числа единиц множителей.
Пример 5. Вычислить 
.
Здесь опорное число 50. Вычисления будут несложными, поскольку для умножения на 50 достаточно умножить на 100 и поделить на 2.
.
Отметим также, что, Правило 2 существенно упрощает вычисления, если опорное число равно 100, 1000, ...
Пример 6. Вычислить 
.
Здесь опорное число 100. По Правилу 2, получим
Остался случай, когда один множитель больше опорного числа, а другой - меньше. Для определенности будем считать, что первый множитель больше, а второй меньше. Аналогично (2), получим
(6)
Правило 3. Чтобы перемножить два множителя с равными опорными числами, причем один множитель больше опорного, а другой - меньше, необходимо сумму меньшего множителя и количество единиц большего множителя (или сумму большего множителя и количество единиц меньшего множителя) умножить на опорное число и вычесть произведение единиц большего множителя и количество недостающих единиц до опорного числа меньшего множителя.
Пример 7. Вычислить 
.
Заметим, если в (6) b=c, то формула примет вид
(7)
Таким образом, вычисления упрощаются в случае, если один множитель больше опорного на столько же, на сколько другой множитель меньше опорного.
Из (7) получим.
Следствие 3. Чтобы найти произведение чисел, одно из которых больше опорного на величину а, на которую второй множитель меньше опорного числа, нужно из квадрата опорного числа вычесть квадрат величины а.
Пример 10. Вычислить 
.
Итак, выведены формулы и сформулированы правила, позволяющие, в некоторых случаях, существенно упростить и ускорить нахождение произведения многозначных чисел.
Результаты
Вычислительный навык – один из основных при формировании знаний по математике. В процессе работы получено представление о разных способах вычислений. Выполнен обзор доступных упражнений и простых методик, позволяющих быстрее вычислять как письменно, так и устно.
Приведены доказательства и сформулированы правила, позволяющие умножать многозначные числа с равными опорными числами. Сформулированы и доказаны следствия, которые позволяют быстро находить произведение множителей, отличающихся от опорного числа на одинаковую величину, умножать числа с равным количеством десятков и с суммой единиц равной 10, быстро вычислять квадраты чисел в пределах 20 и чисел, которые оканчиваются на 5.
Создан видео контент в виде видеороликов, предназначенных и рассчитанных прежде всего на сверстников.
В этих роликах рассматриваются вычислительные лайфхаки [1-3], демонстрируется применение сформулированных и доказанных в работе правил и следствий.
К каждому ролику разработаны и прикреплены тренировочные задания, с помощью которых можно освоить рассмотренные в работе приемы вычислений.
заключение
В процессе выполнения работы пришло понимание, что использование традиционных универсальных методов вычислений никак не отменяется вычислительными методиками быстрого счета, поскольку эти правила нужно, во-первых, запомнить, во-вторых, правильно применить.
При выполнении работы, приходилось много считать и анализировать, подбирать примеры и тренировочные задания, контролировать время вычислений. Это стало хорошей тренировкой счета. Собственная скорость вычислений заметно возросла. К примеру, время выполнения страницы школьного тренажера по математике уменьшилось примерно в два раза.
В результате выполнения поставленных задач исследования, цель изучения методов быстрого счета достигнута. При этом, была подтверждена гипотеза о том, что владение алгоритмами и вычислительными навыками позволяет увеличить скорость вычислений.