Международный школьный научный вестник
Научный журнал для старшеклассников и учителей ISSN 2542-0372

О журнале Выпуски Правила Олимпиады Учительская Поиск Личный портфель

ФОРМУЛА ЛЕЙБНИЦА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ФУНКЦИЙ

Борисова О.О. 1
1 г. Волгоград, МОУ «СШ №35», 11 «А» класс
Емельяненко М.В. (Волгоград, МОУ «СШ №35»)
1. Виленкин Н.Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.
2. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций базовый и углубленный уровни – М.: Просвещение, 2014. – 431 с.
3. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7–9 кл. / автор-составитель В.Н. Студенецкая. – изд. 2–е., испр., – Волгоград: Учитель, 2009.
4. Савушкина И.А., Хугаев К.Д., Тишкин С.Б. Алгебраические уравнения высших степеней: методическое пособие для слушателей межвузовского подготовительного отделения. – СПб., 2001.
5. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 10 кл. средней школы. – М.: Просвещение, 1989.
6. Бином Ньютона и треугольник Паскаля // Наука и жизнь [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/.

«Тоже мне, бином Ньютона!»

из романа «Мастер и Маргарита»

«Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике»

Мартин Гарднер

Цель работы: обобщить формулы сокращенного умножения, показать их применение к решению задач.

Задачи:

1) изучить и систематизировать информацию по данному вопросу;

2) разобрать примеры задач на применение бинома Ньютона и формул суммы и разности степеней.

Объекты исследования: бином Ньютона, формулы суммы и разности степеней.

Методы исследования:

1. Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.

2. Расчеты, сравнение, анализ, аналогия.

Актуальность. Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае.

С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому-химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т. п. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики и вычислительной техники.

Когда хотят подчеркнуть, что собеседник преувеличивает сложность задач, с которыми он столкнулся, говорят: «Тоже мне бином Ньютона!» Дескать, вот бином Ньютона, это сложно, а у тебя какие проблемы! О биноме Ньютона слышали даже те люди, чьи интересы никак не связаны с математикой.

Слово «бином» означает двучлен, т.е. сумму двух слагаемых. Из школьного курса известны так называемые формулы сокращенного умножения:

(а + b)2 = a2 + 2ab + b2,

(a + b)3 = a3 +3a2b + 3ab2 + b3.

Обобщением этих формул является формула, называемая формулой бинома Ньютона. Используются в школе и формулы разложения на множители разности квадратов, суммы и разности кубов. Имеют ли они обобщение для других степеней? Да, есть такие формулы, они часто используются в решении различных задач: на доказательство делимости, сокращение дробей, приближенные вычисления.

Изучение обобщающих формул развивает дедуктивно-математическое мышление и общие мыслительные способности.

1. Формула бинома Ньютона

Сочетания и их свойства

Пусть X – множество, состоящее из n элементов. Любое подмножество Y множества X, содержащее k элементов, называется сочетанием k элементов из n, при этом, k ≤ n.

Число различных сочетаний k элементов из n обозначается Сnk. Одной из важнейших формул комбинаторики является следующая формула для числа Сnk:

bo1.wmf. (1)

Её можно записать после очевидных сокращений следующим образом:

bo2.wmf. (2)

В частности,

bo3.wmf.

Это вполне согласуется с тем, что в множестве X имеется только одно подмножество из 0 элементов – пустое подмножество.

Числа Cnk обладают рядом замечательных свойств.

Справедлива формула

Сnk = Сn-kn, (3)

Смысл формулы (3) состоит в том, что имеется взаимно-однозначное соответствие между множеством всех k-членных подмножеств из X и множеством всех (n – k)-членных подмножеств из X: чтобы установить это соответствие, достаточно каждому k-членному подмножеству Y сопоставить его дополнение в множестве X.

Справедлива формула

С0n + С1n + С2n + … + Сnn = 2n (4)

Сумма, стоящая в левой части, выражает собой число всех подмножеств множества X (C0n есть число 0-членных подмножеств, C1n – число одночленных подмножеств и т.д.).

При любом k, 1≤ k≤ n, справедливо равенство

Ckn = Cn-1k + Cn-1k-1 (5)

Это равенство нетрудно получить с помощью формулы (1). В самом деле,

bo4.wmf

bo5.wmf

1.2. Вывод формулы бинома Ньютона

Рассмотрим степени двучлена а + b.

n = 0, (а +b)0 = 1

n = 1, (а +b)1 = 1а+1b

n = 2, (а + b)2 = 1а2+ 2аb +1b2

n = 3, (а + b)3 = 1 а3 + 3а2b + 3аb2+1 b3

n = 4, (а + b)4 = 1а4 + 4а3b + 6а2b2+4а b3 +1b4

n = 5, (а + b)5 = 1а5+ 5а4b+ 10а3b2+ 10а2b3+ +5аb4+ 1b5

Заметим следующие закономерности:

– число членов получаемого многочлена на единицу больше показателя степени бинома;

– показатель степени первого слагаемого убывает от n до 0, показатель степени второго слагаемого возрастает от 0 до n;

– степени всех одночленов равны степени двучлена в условии;

– каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа – биноминального коэффициента;

– биноминальные коэффициенты, равноотстоящие от начала и конца разложения, равны.

Обобщением этих формул является следующая формула, называемая формулой бинома Ньютона:

(a + b)n = C0n anb0+ C1n an-1b + C2n a n-2b2 + ... + Cn-1n abn-1 + Cnn a0bn. (6)

В этой формуле n может быть любым натуральным числом. [2]

Выведем формулу (6). Прежде всего, запишем:

(a + b)n = (a + b)(a + b) ... (a + b), (7)

где число перемножаемых скобок равно n. Из обычного правила умножения суммы на сумму вытекает, что выражение (7) равно сумме всевозможных произведений, которые можно составить следующим образом: любое слагаемое первой из сумм а + b умножается на любое слагаемое второй суммы a +b, на любое слагаемое третьей суммы и т.д.

Из сказанного ясно, что слагаемым в выражении для (a + b)n соответствуют (взаимно-однозначно) строки длиной n, составленные из букв а и b. Среди слагаемых будут встречаться подобные члены; очевидно, что таким членам соответствуют строки, содержащие одинаковое количество букв а. Но число строк, содержащих ровно k раз букву а, равно Сnk. Значит, сумма всех членов, содержащих букву а множителем ровно k раз, равна Сnk a n-kbk. Поскольку k может принимать значения 0, 1, 2, …, n-1, n, то из нашего рассуждения следует формула (6). Заметим, что (6) можно записать короче:

bo6.wmf. (8)

Хотя формулу (6) называют именем Ньютона, в действительности она была открыта ещё до Ньютона (например, её знал Паскаль). Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашёл обобщение этой формулы на случай не целых показателей. Именно И. Ньютон в 1664–1665 гг. вывел формулу, выражающую степень двучлена для произвольных дробных и отрицательных показателей.

Числа С0n, C1n, ..., Cnn, входящие в формулу (6), принято называть биномиальными коэффициентами, которые определяются так:

bo7.wmf.

Из формулы (6) можно получить целый ряд свойств этих коэффициентов. Например, полагая а =1, b = 1, получим:

2n = C0n + C1n + C2n + C3n + ... +Cnn,

т.е. формулу (4). Если положить а = 1, b = –1, то будем иметь:

0 = С0n – C1n + C2n – C3n + ... + (–1)nCnn

или

С0n + C2n + C4n + ... = C1n + C3n + + C5n + ... .

Это значит, что сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна 2n-1.

Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны. Это свойства следует из соотношения: Сnk = Сnn-k

Интересен частный случай

(x + 1)n = C0 nxn + C1n xn-1 + ... + Ckn xn-k + ... + +Cnn x0

или короче (x +1)n = ∑Cnk xn-k.

1.3. Полиномиальная теорема

Теорема.

bo8.wmf

Доказательство.

bo9.wmf

bo10.wmf

Чтобы после раскрытия скобок получился одночлен bo11.wmf, нужно выбрать те a1 скобок, из которых берется x1, те a2 скобок, из которых берется x2 и т.д. и те ak скобок, из которых берется ak. Коэффициент при этом одночлене после приведения подобных членов равен числу способов, которыми можно осуществить такой выбор. Первый шаг последовательности выборов можно осуществить bo12.wmf способами, второй шаг – bo13.wmf, третий – bo14.wmf и т.д., k-й шаг – bo15.wmf способами. Искомый коэффициент равен произведению

bo16.wmf

bo17.wmf

2. Производные высших порядков

2.1. Понятие производных высших порядков

Пусть функция bo18.wmf дифференцируема в некотором интервале. Тогда её производная bo19.wmf, вообще говоря, зависит от х, то есть является функцией от х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании производной.

Определение. Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной и обозначается символом bo20.wmf или bo21.wmf, то есть

bo22.wmf.

Определение. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается символом bo23.wmf или bo24.wmf.

Определение. Производной n-ого порядка функции bo25.wmf называется первая производная от производной (n–1)-го порядка данной функции и обозначается символом bo26.wmf или bo27.wmf:

bo28.wmf.

Определение. Производные порядка выше первого называются высшими производными.

Замечание. Аналогично можно получить формулу n-й производной функции bo29.wmf:

bo31.wmf.

Вторая производная параметрически заданной функции

Если функция задана параметрически уравнениями bo32.wmf, то для нахождения производной второго порядка нужно продифференцировать выражение для её первой производной, как сложной функции независимой переменной.

Так как

bo33.wmf, то

bo34.wmf

и с учетом того, что bo35.wmf,

Получим

bo36.wmf,

то есть bo37.wmf.

Аналогично можно найти третью производную

bo39.wmf.

2.2. Дифференциал суммы, произведения и частного

Так как дифференциал получается из производной умножением её на дифференциал независимой переменной, то, зная производные основных элементарных функций, а также правила для отыскания производных, можно прийти к аналогичным правилам для отыскания дифференциалов.

10. Дифференциал постоянной равен нулю bo40.wmf.

20. Дифференциал алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций

bo41.wmf.

30. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений первой функции на дифференциал второй и второй функции на дифференциал первой bo42.wmf.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала bo43.wmf.

2.3. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование

Определение. Функция bo44.wmf называется заданной параметрически, если обе переменные х и у определяются каждая в отдельности как однозначные функции от одной и той же вспомогательной переменной – параметра t:

bo45.wmf (*)

где t изменяется в пределах bo47.wmf.

Замечание. Приведем параметрические уравнения окружности и эллипса.

а) Окружность с центром в начале координат и радиусом r имеет параметрические уравнения:

bo48.wmf

где bo49.wmf.

б) Запишем параметрические уравнения для эллипса:

bo50.wmf

где bo51.wmf.

Исключив параметр t из параметрических уравнений рассматриваемых линий, можно прийти к их каноническим уравнениям.

Теорема. Если функция у от аргумента х задана параметрически уравнениями (*), где bo53.wmf и bo54.wmf дифференцируемые по t функции и bo55.wmf, то bo56.wmf.

2.4. Формула Лейбница

Для нахождения производной n-го порядка от произведения двух функций большое практическое значение имеет формула Лейбница.

Пусть u и v – некоторые функции от переменной х, имеющие производные любого порядка и y=uv. Выразим n-ю производную bo57.wmf через производные функций u и v.

Имеем последовательно

bo58.wmf,

bo59.wmf,

bo60.wmf.

Легко подметить аналогию между выражениями для второй и третьей производных и разложением бинома Ньютона соответственно во второй и третьей степенях, но вместо показателей степени стоят числа, определяющие порядок производной, а сами функции можно рассматривать как «производные нулевого порядка». Учитывая это, получим формулу Лейбница:

bo61.wmf

bo62.wmf. (2)

Эту формулу можно доказать методом математической индукции.

3. Применение формулы Лейбница

Для вычисления производной любого порядка от произведения двух функций, минуя последовательное применение формулы вычисления производной от произведения двух функций, применяется формула Лейбница.

С помощью этой формулы рассмотрим примеры вычисления производной n-го порядка от произведения двух функций.

Пример 1. Найти производную второго порядка функции

bo63.wmf

Решение .Согласно определению, вторая производная – это первая производная от первой производной, то есть

bo64.wmf.

Поэтому сначала найдем производную первого порядка от заданной функции согласно правилам дифференцирования и используя таблицу производных:

bo65.wmf

bo66.wmf

Теперь найдем производную от производной первого порядка. Это будет искомая производная второго порядка:

bo67.wmf

bo68.wmf

Ответ: bo69.wmf.

Пример 2. Найти производную n-го порядка функции

bo70.wmf.

Решение. Будем последовательно находить производные первого, второго, третьего и так далее порядков заданной функции для того, чтобы установить закономерность, которую можно будет обобщить на n-ю производную.

Производную первого порядка находим как производную частного:

bo71.wmf

bo72.wmf

Здесь выражение n! называется факториалом числа . Факториал числа равен произведению чисел от одного до n, то есть

bo73.wmf.

Производная второго порядка есть первая производная от первой производной, то есть

bo74.wmf

bo75.wmf

bo76.wmf.

Производная третьего порядка:

bo77.wmf

bo78.wmf

bo79.wmf

Четвертая производная:

bo80.wmf

bo81.wmf

bo82.wmf.

Заметим закономерность: в числителе стоит факториал числа, которое равно порядку производной, а в знаменателе выражение 1–x в степени на единицу больше, чем порядок производной, то есть

bo83.wmf

Ответ: bo84.wmf.

Пример 3. Найти значение третьей производной функции

bo85.wmf

в точке x=0.

Решение. Согласно таблице производных высших порядков, имеем:

bo86.wmf.

В рассматриваемом примере

kx+b=2x–1, k=2, n=3,

то есть получаем

bo87.wmf.

Заметим, что подобный результат можно было бы получить и при последовательном нахождении производных.

В заданной точке x=0 третья производная равна:

bo88.wmf.

Ответ: bo89.wmf.

Пример 4. Найти вторую производную функции

bo90.wmf.

Решение. Для начала найдем первую производную:

bo91.wmf

bo92.wmf

bo93.wmf

bo94.wmf.

Для нахождения второй производной продифференцируем выражение для первой производной еще раз:

bo95.wmf

bo96.wmf

bo97.wmf

bo98.wmf

bo99.wmf

bo100.wmf

bo101.wmf

bo102.wmf.

Ответ: bo103.wmf.

Пример 5. Найти bo104.wmf, если bo105.wmf.

Так как заданная функция представляет собой произведение двух функций

bo106.wmf, bo107.wmf,

то для нахождения производной четвертого порядка целесообразно будет применить формулу Лейбница:

bo108.wmf

bo109.wmf.

Найдем все производные и посчитаем коэффициенты при слагаемых.

1) Посчитаем коэффициенты при слагаемых:

bo110.wmf;

bo111.wmf;

bo112.wmf;

2) Найдем производные от функции u(x):

bo113.wmf;

bo114.wmf;

bo115.wmf;

bo116.wmf;

3) Найдем производные от функции v(x):

bo117.wmf

bo118.wmf

bo119.wmf

Тогда

bo120.wmf

bo121.wmf

bo122.wmf

Ответ: bo123.wmf.

Пример 6. Дана функция y=x2cos3x. Найти производную третьего порядка.

Решение. Пусть u=cos3x, v=x2. Тогда по формуле Лейбница находим:

bo124.wmf

Производные в этом выражении имеют вид:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Следовательно, третья производная заданной функции равна

bo125.wmf

=1⋅27sin3x⋅x2+3⋅(−9cos3x)⋅2x+3⋅(−3sin3x)⋅2+1⋅cos3x⋅0=

=27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Пример 7. Найти производную n-го порядка функции y=x2cosx.

Решение. Воспользуемся формулой Лейбница, полагая u=cosx, v=x2. Тогда

bo126.wmf

Остальные члены ряда равны нулю, поскольку (x2)(i)=0 при i>2.

Производная n-го порядка функции косинус:

bo127.wmf

Следовательно, производная нашей функции равна

bo128.wmf

bo129.wmf

bo130.wmf

bo131.wmf.

Заключение

В школе изучаются и используются так называемые формулы сокращенного умножения: квадраты и кубы суммы и разности двух выражений и формулы разложения на множители разности квадратов, суммы и разности кубов двух выражений. Обобщением этих формул является формула, называемая формулой бинома Ньютона и формулы разложения на множители суммы и разности степеней. Эти формулы часто используются в решении различных задач: на доказательство делимости, сокращение дробей, приближенные вычисления. Рассмотрены интересные свойства треугольника Паскаля, которые тесно связаны с биномом Ньютона.

В работе систематизирована информация по теме, приведены примеры задач на применение бинома Ньютона и формул суммы и разности степеней. Работа может быть использована в работе математического кружка, а также для самостоятельного изучения теми, кто увлекается математикой.


Библиографическая ссылка

Борисова О.О. ФОРМУЛА ЛЕЙБНИЦА ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ФУНКЦИЙ // Международный школьный научный вестник. – 2019. – № 5-1. ;
URL: https://school-herald.ru/ru/article/view?id=1148 (дата обращения: 11.08.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074