Международный школьный научный вестник
Научный журнал для старшеклассников и учителей ISSN 2542-0372

О журнале Выпуски Правила Олимпиады Учительская Поиск Личный портфель

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Габов Н.А. 1
1 г. Лесосибирск, МБОУ «СОШ №9», 9 класс
Колотило Э.И. (г. Лесосибирск,, МБОУ «СОШ №9»)
1. Баранова Е.А. Как увлечь школьников исследовательской деятельностью. Математика в школе / Е.А. Баранова, М.И. Зайкин. – 2004. – № 2 – 80 с.
2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы: Для сред. шк. – 15-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 2012. – 93 с.
3. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математика: геометрия, старинные и занимательные задачи; пособие для учащихся 10-11 кл. / Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, З.Ф. Шибасова. – М.: Просвещение, 2008. – 175 с.
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы. – М.: Просвещение, 1982.
5. Дробышев Ю.А. Изучение квадратных уравнений на основе историко – генетического метода / Ю.А. Дробышев // Математика в школе. – 2011. – № 6.
6. Литвинова С.А., и др. За страницами учебника математики 8-11 классы. – 2-е изд., дополненное – М.: Глобус, Волгоград: Панорама,2008. – С. 76-82.
7. Макарычев Ю.Н. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под редакцией С.А. Теляковского. – 11-е издание – М.: Просвещение, 2003. – 238 с.
8. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович. – 11-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009. – 224 с.: ил.
9. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы [Текст] / Л.Ф. Пичурин – Москва: Просвещение, 1990.
10. Пресман А.А. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки / А.А. Пресман // Квант. – 1972. – № 4; http://www.wikipedia.org/
11. http://arm-math.rkc-74.ru/DswMedia/resheniekvadratnyixuravneniyrazlichnyimisposobami.doc.
12. http://edu.of.ru/attach/17/76716.doc.

Актуальность данного исследования определяется тем, что решение многих практических задач в области физики, техники и информационных технологий сводится к решению квадратных уравнений. В школьном курсе математики изучаются виды квадратных уравнений, способы их решения. Как правило, корни квадратного уравнения учащиеся находят с помощью формул корней квадратного уравнения или применяют теорему Виета и обратную ей теорему.

Проблема: отсутствие навыков решения квадратных уравнений различными способами у некоторых учащихся мешает им успешно подготовиться к итоговой аттестации по математике и математическим олимпиадам, дальнейшему обучению в профильном математическом классе.

Цель работы: изучение известных способов решения квадратных уравнений и выявление наиболее рациональных из них для практического применения.

Исходя из поставленной цели, в работе определены следующие задачи:

– изучить литературу и Интернет-ресурсы по данной теме;

– познакомиться с историческими фактами решения квадратных корней;

– описать различные способы решения квадратных уравнений и алгоритмы вычислений, сравнить степень сложности каждого из них;

– познакомить одноклассников со способами решения квадратных уравнений, которые не изучаются в школьной программе по математике.

Объект исследования – квадратные уравнения.

Предмет исследования – способы решения квадратных уравнений.

Гипотеза: кроме общеизвестных способов решения квадратных уравнений существуют другие способы решения, которые могут иметь практическое применение.

Методы исследования:

– библиографический метод (анализ литературы по теме исследования);

– метод классификации и метод качественного анализа.

Теоретическая значимость исследования состоит в систематизации способов решения квадратных уравнений и описании их алгоритмов.

Практическая значимость – предъявленный материал по данной теме и разработанная памятка «Способы решения квадратных уравнений» могут быть использованы для практического применения в учебном процессе.

Квадратное уравнение

Понятие квадратного уравнения

Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида

ах2 + bх + с = 0, где коэффициенты а, b и с – любые действительные числа, причём, а ≠ 0 [8, 143].

Многочлен ах2 + bх + с называют квадратным трёхчленом, где а – первый или старший коэффициент; b – второй или коэффициент при х, с – свободный член. Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Определение 2. Квадратное уравнение называют приведённым, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведённым, если старший коэффициент отличен от 1. х² + рх + q = 0 – стандартный вид приведённого квадратного уравнения [8, 143].

Кроме приведенных и неприведённых квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения.

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля.

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 называют значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах² + bх + с обращается в нуль. Такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

В ходе исследования было выявлено, что современной науке известно много различных способов решения квадратного уравнения, начиная с методов математиков далекой древности (метода Евклида – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях) и заканчивая способами решения уравнений сложных степеней из разделов высшей математики.

Исторические сведения о квадратных уравнениях.

Из истории квадратных уравнений

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

В древней Греции квадратные уравнения решались с помощью геометрических построений. Методы, которые не связывались с геометрией, впервые приводит Диофант Александрийский в III в. н.э. В своих книгах «Арифметика» он приводит примеры решения неполных квадратных уравнений. Его книги с описанием способов решения до нашего времени не сохранились [4, 21].

Квадратные уравнения решали и в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах2 + bх = с, а > 0. В уравнении коэффициенты, кроме коэффициента а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с современным правилом [4, 23]. Общее правило решения квадратных уравнений было сформировано немецким математиком М. Штифелем (1487 – 1567). Выводом формулы общего решения квадратных уравнений занимался Виет [4, 25]. Он же и вывел формулы зависимости корней уравнения от коэффициентов в 1591 году. После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595 – 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений приобрел современный вид.

В работе описаны различные способы решения квадратных уравнений. Среди них способы, выходящие за рамки школьной программы – способ, основанный на свойствах коэффициентов квадратного уравнения, решение уравнений способом «переброски», с помощью циркуля и линейки, а также с использованием номограммы и геометрический метод.

Cпособы решения квадратного уравнения

Разложение квадратного трехчлена уравнения на множители

С этим способом мы познакомились в школьном курсе алгебры 8 класса. Он основан на «способе группировки» при разложении многочленов на множители и позволяет достаточно быстро решать квадратное уравнение.

Вывод: способ не сложный и понятный, им может пользоваться любой учащийся.

Выделение полного квадрата

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена опирается на применение формулы сокращенного умножения: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 и (a–b)2 = a2 – 2ab + b2.

Вывод: способ выделения полного квадрата требует знания формул сокращенного умножения и хороших вычислительных навыков (в случае, если коэффициенты рациональные числа).

Применение формул корней квадратного уравнения

Используя выделение полного квадрата для квадратного трехчлена уравнения ах2 + bх + с = 0, а ? 0 мы получим формулы, с помощью которых найдем корни уравнения

gab01.wmf

Формула позволяет найти корни любого квадратного уравнения, в том числе приведенного и неполного. При этом необходимо учитывать число корней в зависимости от дискриминанта D = b2– 4ac, D > 0, два разных корня; D = 0, один корень; D < 0, нет корней.

Известно, что кроме основной формулы корней квадратного уравнения существует формула, которая применяется при решении квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом, то есть b = 2k.

Решение уравнений с использованием теорем Виета

Любопытные соотношения между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540 – 1603), которые он описал в своей знаменитой теореме и обратной ей [4, 180]. Если х1 и х2 – корни уравнения, то х1 + х2 = – gab02.wmf, х1•х2 = gab03.wmf (теорема Виета).

Для приведенного квадратного уравнения вида х2 + px + q = 0. Эти соотношения имеют вид: gab04.wmf По коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней: а) если сводный член q приведенного уравнения положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависти от второго коэффициента p. Если р > 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны;

б) если свободный член q уравнения отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0, отрицателен, если p > 0.

Мы пришли к выводу, что рассмотренные выше способы решения уравнений имеют практическое применение только при твёрдом знании формул корней и теорем Виета. Немаловажную роль играют также хорошие вычислительные навыки учащихся.

Графическое решение квадратного уравнения

Если в уравнении ax2 + bx + c = 0, из левой части перенести второй и третий члены многочлена в правую часть, то получим: ax2 = – (bx + c). Рассмотрим две функции: y = ax2 и y = – (bx + c). График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости – прямая. Возможны следующие случаи взаимного расположения графиков функций: пересечение двух графиков, два графика касаются, два графика не имеют общих точек.

Рассмотрим три случая решений квадратных уравнений:

а) решим графически уравнение х2 – 3х – 4 = 0, (рис. 1, а). Ответ: х1 = – 1; х2 = 4.

б) уравнение х2 – 2х + 1 = 0, (рис. 1, б). Ответ: х = 1.

в) уравнение х2 – 2х + 5 = 0, (рис. 1, в).Ответ: корней нет.

Вывод: если строить параболу по точкам, то требуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.

Способ, основанный на свойствах коэффициентов квадратного уравнения

10. Если a + b + c = 0, то x1 = 1, x2 = gab05.wmf.

20. Если a – b + c = 0, то x1 = – 1, x2 = – gab06.wmf;

30. Рассмотрим уравнение вида

ах2 + (а2 + 1) х + a = 0; a ? 0

и найдем его корни

D = a4 + 2a2 + 1 – 4a2 = a4– 2a2 + 1 = (a2– 1)2,

x1,2 = gab07.wmf =

= gab08.wmf.

Не нарушая общности можно считать, что перед нами квадратное уравнение с целыми коэффициентами (даже если бы коэффициенты были дробными, уравнение можно было бы свести к уравнению с целыми коэффициентами), т.е. если a?Z и тогда a2 – 1 > 0, а значит

x1 = gab10.wmf

x2 = gab11.wmf.

Ответ: x1 = – gab12.wmf; x2 = – a.

Исследуя взаимосвязь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, мы заметили, что существуют квадратные уравнения, корни которых можно найти благодаря пониманию описанных гипотез.

Способ «переброски» первого коэффициента

Рассмотрим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0, где а ? 0. Домножим обе его части на а, получаем уравнение а2х2 + аbх + ас = 0. Пусть ах = у, откуда х = у/а. Уравнение у2 + by + ас = 0 равносильно данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х2 = у1/а и х1 = у2/а. При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски».

Вывод: способ «переброски» привлекает своеобразным подходом в описании алгоритма решения уравнения. Вместе с тем данный способ вызывает затруднения в его понимании.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, о котором рассказывается в Таблице XXII Четырехзначных математических таблиц, автор В.М. Брадис. Номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения z2 + рz + q = 0, по его коэффициентам определить корни уравнения [2, 83].

Алгоритм решения и практическая часть решения уравнений описаны ниже.

Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

Номограмма (от греческого «nomos» – закон и …грамма), графическое представление функции от нескольких переменных, позволяющее с помощью простых геометрических операций (например, прикладывание линейки) исследовать функциональные зависимости без вычислений. Например, решать квадратное уравнение без применения формул.

Рассмотрим уравнение gab13.wmf

Криволинейная шкала номограммы построена по формуле gab14.wmf, gab15.wmf Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а, из подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию gab16.wmf. После подстановок и упрощений вытекает уравнение gab17.wmf, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы (рис. 2).

gabov2.tif

Рис. 2

Примеры:

1) Для уравнения z2 – 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z1 = 8 и z2 = 1.

2) Решим с уравнение 2z2 – 9z + 2 = 0. Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z2 – 4,5z + 1 = 0. Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5 (рис. 3).

3) Для уравнения х2 + 5х – 6 = 0 номограмма даёт только положительный корень х1 = 1, а отрицательный находим так: х2 = – b – х1 = -5-1 = – 6.

4) Для уравнения х2 – 2х – 8 = 0, х1 = 4, а х2 = –b – х1 = 2 – 4 = –2.

gabov3.tif

Рис. 3

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Решим квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис. 4). Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0) и D(х2; 0), где х1 и х2 – корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А(0; 1) и С(0;c/a) на оси ординат. По теореме о секущих имеем OB•OD = OA•OC, отсюда OC = OB•OD/OA = х1,•х2/1 = c/a. Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, gab18.wmf gab19.wmf [10, 34].

gabov4.tif

Рис. 4

Итак:

1) построим точки gab20.wmf (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ох являются корнями исходного квадратного уравнения. При этом возможны три случая:

а) два решения (рис. 5, а);

б) одно решение (рис. 5, б);

в) нет решений (рис. 5, в).

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

1. Построим точки S gab21.wmf(центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью ох являются корнями исходного квадратного уравнения (рис. 6). При этом возможны три случая.

gabov5a.tif

а)

gabov5b.tif

б)

gabov5c.tif

в)

Рис. 5

gabov6.tif

Рис. 6

gabov1a.tif gabov1b.tif gabov1c.tif

а) б) в)

Рис. 1. Графическое решение квадратного уравнения

gabov7a.tif gabov7b.tif gabov7c.tif

а) б) в)

gabov7d.tif gabov7e.tif

г) д)

Рис. 7

Пример 1. Решим уравнение х2 – 2х – 3 = 0 (рис. 7, а).

Определим координаты точки центра окружности по формулам:

gab22.wmf и gab23.wmf

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: х1 = – 1; х2 = 3, уравнение имеет два решения.

Пример 2. Решим уравнение х2 + 4х + 4 = 0 (рис. 7, г).

Определим координаты точки центра окружности по формулам:

gab25.wmf и gab26.wmf

Проведем окружность радиуса SA, где А (0;1).

Ответ: х1 = gab27.wmf равнение имеет одно решение.

Пример 3. Решим уравнение х2 – 2х + 3 = 0 (рис. 7, д).

Определим координаты точки центра окружности по формулам:

gab28.wmf и gab29.wmf

Проведем окружность радиуса SA, где А (0; 1).

Ответ: уравнение не имеет решения.

Вывод: очевидно, что этот красивый способ практически не применяется из-за геометрических построений и последующей проверки результатов решения.

Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Вот пример из «Алгебры» ал – Хорезми: х2 + 10х = 39. На сторонах квадрата со стороной х строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5. Площадь каждого прямоугольника равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют до нового квадрата, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них равна 2,5, а площадь 6,25. Площадь квадрата можно представить как сумму площадей: первоначального х2, четырёх прямоугольников gab30.wmf, т.е. S = x2 + 10x + 25.

gabov9.tif

Из геометрического метода нахождения квадратных корней вытекает любопытнейший способ решения уравнений, основанный на выполнении различных действий с отрезками и позаимствованный из книги «Геометрия» великого французского ученого Рене Декарта (1596-1650).

Геометрический способ решения квадратного уравнения

Пусть надо решить, уравнение х2 + 10х + 9 = 0. Выполним следующее построение.

gabov8.tif

Рис. 8

Сначала по катету и гипотенузе ВС = gab31.wmf построим прямоугольный треугольник. Заметим, что gab32.wmf. Радиусом, равным gab33.wmf проведем окружность с центром в точке A. Она пересечет продолжение катета AC в двух точках, которые обозначим D и E. Отрезок DC составлен из gab34.wmf и, gab35.wmf т.е. gab36.wmf Отрезок ж CE есть разность отрезков gab37.wmf и gab38.wmf т.е. отрезок gab39.wmf Отрезок BC есть корень квадратный из q, произведения отрезков х1 и х2.

Результаты исследования и их обсуждение

В ходе исследовательской работы был проведен опрос на предмет применения различных способов решения квадратного уравнения, которыми владеют одноклассники и учащиеся девятых классов МБОУ «СОШ № 9». С этой целью учащимся было предложено решить квадратные уравнения. Результаты проверки показали, что большая часть опрошенных находили корни уравнения с помощью: общей формулы корней. Таких учащихся – 82 %. С помощью теоремы Виета корни уравнения нашли – 6 % учащихся, а другими способами –12 % .

Демонстрация результатов исследовательской работы, т.е. способов решения уравнений, не изучаемых в школьной программе по математике, заинтересовала учащихся, а их практическое применение выявило недостатки и преимущества каждого из способов.

Была дана характеристика алгоритмов решения по таким критериям, как трудоёмкость и точность вычислений, а также насколько удобен тот или другой метод, математически красив и практичен. По результатам практической работы каждый из участников эксперимента выставил условную отметку, и было установлено, что наиболее сложными для школьников оказались следующие способы: разложение левой части уравнения на множители, метод выделения полного квадрата. Наиболее доступными для учащихся в понимании алгоритмов решения были способы: решение квадратных уравнений по формуле корней и решение уравнений с использованием теорем Виета (для уравнений приведенного вида), применение свойств коэффициентов квадратного уравнения.

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки, геометрический способ решения квадратных уравнений вызвали интерес со стороны одноклассников, но необходимо отметить, что широкого практического применения они не имеют.

Очень необычными способами оказались: решение уравнений с помощью номограммы и решение уравнений способом «переброски».

Заключение

Изучив учебную и научную литературу, Интернет-ресурсы в молодежных образовательных форумах по теме: «Способы решения квадратных уравнений» мы выяснили, что современной науке известно много способов решения квадратных уравнений. Следует отметить, что некоторая часть изученных способов не входит в школьный курс, так как относится к разделу прикладной математики. В ходе работы было отмечено, что не все способы удобны для решения, но каждый из них уникален.

Мы считаем, что смогли выполнить поставленную перед собой цель работы, так как:

1) изучили, описали алгоритмы вычислений и проверили на практике 10 способов решения квадратных уравнений, (всего было найдено 11);

2) представили результаты исследования одноклассникам с целью знакомства со способами решения квадратных уравнений и выявления на их взгляд наиболее эффективного способа.

Итогом нашей работы является образовательный продукт – создана памятка по теме: «Способы решения квадратного уравнения».

Практическая значимость данной работы заключается, в возможности использования результатов исследования в практике организации самостоятельной работы учащихся при решении уравнений на уроках, факультативных занятиях и экзаменах в формате ОГЭ по математике.

 


Библиографическая ссылка

Габов Н.А. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ // Международный школьный научный вестник. – 2017. – № 1. ;
URL: https://school-herald.ru/ru/article/view?id=142 (дата обращения: 09.08.2022).

Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
(Высокий импакт-фактор РИНЦ, тематика журналов охватывает все научные направления)

«Фундаментальные исследования» список ВАК ИФ РИНЦ = 1.074