Международный школьный научный вестник
Научный журнал для старшеклассников и учителей ISSN 2542-0372

О журнале Выпуски Правила Олимпиады Учительская Поиск Личный портфель

НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ

Дерябина А.А. 1
1 г. Череповец, МБОУ «Женская гуманитарная гимназия», 11 класс
Гущина Г.И. (Череповец, МБОУ «Женская гуманитарная гимназия»)
1. Блох А.Ш., Трухан Т.Л. Неравенства. – Мн. : Народная асвета, 1972.
2. Шахмейстер А.Х. Дробно-рациональные неравенства. – М. : МЦНМО ; СПб. : Петроглиф : Виктория плюс, 2008.
3. Жафяров А.Ж. Математика. ЕГЭ. Решение задач уровня С1. – Новосибирск : Сиб. унив. изд-во, 2010.
4. Иванов М.А. Математика без репетитора. – М. : Вентана-Граф, 2002.
5. Ермолин Е.В., Лукина М.А., Цыпленкова Н.А. Уравнения и неравенства, содержащие модуль.
6. Самарова С.С. Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами : учебно-методическое пособия для подготовки к ЕГЭ по математике.
7. Конспект урока и подготовка к ЕГЭ [Электронный ресурс]. – Режим доступа: compendium.su.
8. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: diffur.kemsu.ru.
9. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: ppt4web.ru.

Данная статья является сокращением основной работы. С дополнительными приложениями и фотографиями можно ознакомиться на сайте II Международного конкурса научно-исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке» по ссылке: https://www.school-science.ru/2017/7/26525

Цель работы – изучить способы решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля.

Поставленная цель обусловила решение ряда задач:

1) изучить теоретический материал о неравенствах и модуле числа, на котором будет основываться исследование;

2) проанализировать практическое применение данного материала посредством решения типовых заданий;

3) рассмотреть различные способы решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля;

4) провести анализ сходств и различий данных способов;

5) систематизировать материал и вывести алгоритм решения данных неравенств различными способами;

6) рассмотреть практическое применение данных способов при решении неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля.

Актуальность данной темы обусловлена тем, что задания на неравенства с двумя переменными, содержащими знак модуля, встречаются в заданиях С части ЕГЭ, но не изучаются глубоко в школьном курсе математики (без углубленного изучения).

Объектом исследования являются неравенства с двумя переменными, содержащих знак модуля.

Предметом исследования являются способы решения данных неравенств.

Гипотеза: не все способы решения являются универсальными, поэтому в зависимости от общего вида неравенства и места расположения модуля будем выбирать тот или иной способ решения данных неравенств.

Типовые тестовые задания, содержащие переменную под знаком модуля

Задание № 1. Найти площадь фигуры, заданной неравенством der001.wmf.

Решение: Множество точек – ромб, полученный из ромба der002.wmf путем параллельного переноса точки пересечения диагоналей (0;0) в точку (3;2).

Диагонали ромба: d1 = 6, d2 = 4S = 0,5d1d2 = 0,5 * 4 * 6 = 12.

Ответ: S = 12

Задание № 2. Изобразите на координатной плоскости фигуру, заданную неравенством der003.wmf и вычислить ее площадь.

Решение: der004.wmf;

der005.wmf;

der006.wmf

Это два симметричных относительно оси OY круга с центрами в точках (–2;0) и (2;0) и радиусом r =2.

der007.wmf

Ответ: der008.wmf.

Задание № 3. Изобразите фигуру, заданную неравенством der009.wmf и найдите площадь данной фигуры.

Решение: данная фигура состоит из двух равных треугольников OCB и OAB, вершины которых имеют координаты:

A = (1;2), B = (0;1), C = (–1;2).

Рассмотрим треугольник OAB: основание OB равно 1; высота, опущенная из вершины А к основанию равно 1.

SOAB = 0,5·h·OB = 0,5·1·1 = 0,5 Так как треугольника равные, то S = 2SOAB = 1.

Ответ: S = 1.

Задание № 4. Найдите S фигуры, заданной неравенством der010.wmf.

Решение: фигура, заданная неравенством – прямоугольник ABCD с вершинами

der011.wmf, der012.wmf, der013.wmf, der014.wmf.

Для нахождения площади необходимы значения сторон AB и AD:

derris002.wmf

derris003.wmf

derris004.wmf

Ответ: S = 1,5.

Задание № 5.

Изобразите фигуру, заданную системой неравенств der015.wmf. Найдите площадь данной фигуры.

Решение. Первое неравенство системы задает круг с радиусом 2 и центром в начале координат. Второе неравенство задает прямые x = –2 и x = 2, множество точек располагается между этими прямыми. Третьим неравенством задаются прямые y = –2 и y = x, множество точек располагается выше прямой y = –2 и ниже прямой y = x

Фигура является общей частью внутренности прямоугольного треугольника ABC и внешности круга радиусом 2 с центром в начале координат.

Вершины треугольник АBC имеют координаты:

А(–2;–2), В(2;2), С(2;–2)

Найдем площадь прямоугольного треугольника:

der016.wmf.

Для того, чтобы вычислить площадь фигуры нужно из площади треугольника ABC вычесть площадь полукруга с радиусом 2:

der017.wmf.

Ответ: der018.wmf.

Задание № 6. Найдите площадь фигуры, заданной неравенством der019.wmf.

Решение: Фигура состоит их двух равных треугольников OCB и OAB, вершины которых имеют координаты A = (1;2), B = (0;3), C = (–1;2)

Основание треугольника OAB равно 3, а высота, опущенная к основанию из вершины А равна 1.

SOAB = 0,5·h·OB = 0,5·3·1 = 1,5

Треугольники равны, поэтому S = 2SOAB = 3.

Ответ: S = 3.

Задание № 7. Решите систему неравенств:

der020.wmf.

Решение.

Предположим, что данная система неравенств имеет решение x, y, z, t.

Тогда, в частности, der021.wmf, т.е. der022.wmf.

Аналогично получаем:

der023.wmf;

der024.wmf;

der025.wmf.

Перемножим все полученные неравенства: с одной стороны, произведение четырех положительных чисел положительно, с другой стороны, это произведение равно:

der026.wmf.

Приходим к противоречию.

Ответ: система не имеет решений.

Задание № 8. Существуют ли действительные числа a, b и с такие, что при всех действительных x и y выполняется неравенство:

der027.wmf.

Решение: предположим, такие числа a, b, с существуют. Выберем x > 0 и y > 0 такие, что

der028.wmf;

der029.wmf;

der030.wmf.

Тогда разность между левой и правой частями равна a + b + с.

Если взять x < 0 и y < 0 такие, что der031.wmf;

der032.wmf;

der033.wmf,

тогда разность будет равна –a – b – с.

Таким образом, с одной стороны a + + b + с > 0, с другой стороны a + b + с < 0, что является противоречием.

Ответ: нет, такие числа не существуют.

Задание № 9. Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство der034.wmf?

При натуральных n уравнение der035.wmf имеет ровно 4n целочисленных решений, а при n = 0 решение единственно. Таким образом, количество решений исходного неравенства равно: 1 + 4(1 + + 2 + 3 + … + 99) = 19 801.

Ответ: 19 801.

Способы решение неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля

Рассмотрим решение неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля, тремя способами:

1. Использование свойств неравенств, путем равносильных преобразований, и правил решения дробных неравенств.

2. Умножение обеих частей неравенства на неотрицательное число и дальнейшее решение полученного неравенства.

3. Возведение обеих частей в квадрат и решение полученного дробно-рационального неравенства.

Для того, чтобы рассмотреть все три способа, берем одно и тоже неравенство:

der036.wmf.

Способ № 1. Использование свойств неравенств, путем равносильных преобразований.

Равносильные переходы при решении неравенств.

Если der037.wmf, то при а > 0 – множество решений совпадает с областью определения функции f(x), а при der038.wmf равносильно

der039.wmf,

der040.wmf.

При решении воспользуемся теоремой:

der041.wmf.

Таким образом данное неравенство равносильно совокупности неравенств:

der042.wmf

Перенесем 2 и –2 в левую часть и приведем к общему знаменателю. (1)

der043.wmf

der044.wmf (1)

Имеем:

der045.wmf

Воспользуемся тем, что

  • произведение двух множителей < 0, если каждый множитель > 0 (или каждый < 0);
  • произведение двух множителей < 0, если один из множителей < 0, а другой > 0,

и запишем данную совокупность в виде совокупности систем, применив данное чередование к каждому из неравенств. Решим данные совокупности систем неравенств:

der046.wmf

Геометрическим решением данного неравенства являются все точки, лежащие в углах АОВ и А1ОВ1, исключая точки, расположенные на лучах ОА, ОD, ОВ и ОА1, ОС, ОВ1.

Способ №1 является наиболее универсальным при решении неравенств. Если неравенство удовлетворяет одному из равносильных переходов, то оно может быть решено данным способом.

Способ № 2. Умножение обеих частей на неотрицательное число

Так как модуль частного равен частному модулей, то:

der047.wmf.

der048.wmf есть число неотрицательное и от умножения на него данного неравенства равносильность не нарушается, если der049.wmf, поэтому:

der050.wmf

Далее для решения будем использовать метод равносильных преобразований.

Воспользуемся методом одновременного раскрытия модуля и его определением:

der051.wmf

Решим данные неравенства:

der052.wmf

der053.wmf

der054.wmf

der055.wmf

der056.wmf

Геометрическим решением данного неравенства являются все точки, лежащие в углах АОВ и А1ОВ1, исключая точки, расположенные на лучах ОА, ОD, ОВ и ОА1, ОС, ОВ1.

Данный способ наиболее удобен при решении дробно-рациональных неравенств.

Способ №3. Возведение обеих частей в квадрат.

Так как модуль частного равен частному модулей, то:

der057.wmf

Так как обе части неравенства – числа неотрицательные, то равносильность не нарушается при возведении в квадрат обеих частей неравенства.

der058.wmf

Перенесем 4 в левую сторону и приведем к общему знаменателю.

der059.wmf

der060.wmf

der061.wmf

Таким образом данное неравенство равносильно системе:

der062.wmf

Неравенство разложим на множители способом группировки.

der003.wmf

der064.wmf

Переходим к совокупности систем и решаем с учетом чередования знаков, как при способе равносильных преобразований.

der065.wmf

Геометрическим решением данного неравенства являются все точки, лежащие в углах АОВ и А1ОВ1, исключая точки, расположенные на лучах ОА, ОD, ОВ и ОА1, ОС, ОВ1.

Данный способ можно использовать, если обе части неравенства есть числа неотрицательные, а возведение в квадрат не ведет к усложнению решения.

Вывод

Научная новизна исследования:

– рассмотрено три способа решения одного неравенства с двумя переменными, содержащими знак модуля;

– выведен алгоритм для каждого из трех способов решения неравенств;

– даны рекомендации по выбору способа решения;

– представлено приложение с решением неравенств различными способами.

Нужно заметить, что каждый из способов имеет свои преимущества, поэтому для успешного решения данных неравенств необходимо знать все способы. А какой из них наиболее удобный, зависит от вашего решения.

Практическая значимость исследования:

– может быть использовано учителями математики при подготовке к урокам, при изучении тем: «Координаты и графики» и «Решение неравенств», и факультативным занятиям.

– может быть использовано при проведении факультативных занятий и элективных курсов.

– для самостоятельной подготовки учащимися к ЕГЭ и вступительным экзаменам.

ris1_1.tif

Рис. 1. Алгоритм решения неравенств с двумя переменными, содержащих знак модуля


Библиографическая ссылка

Дерябина А.А. НЕРАВЕНСТВА С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ // Международный школьный научный вестник. – 2017. – № 2. – С. 27-32;
URL: http://school-herald.ru/ru/article/view?id=179 (дата обращения: 17.09.2019).