Международный школьный научный вестник
Научный журнал для старшеклассников и учителей ISSN 2542-0372

О журнале Выпуски Правила Олимпиады Учительская Поиск Личный портфель

ИЗОПИРАННОЕ НЕРАВЕНСТВО

Степанова Д.А. 1
1 ГБОУ СОШ ж.-д.ст. Погрузная, 11 класс
Степанова Г.А. (ж.-д.ст. Погрузная, ГБОУ СОШ)
1. Беккенбах Э., Беллман Р. Введение в неравенства. – М.: Изд-ательство «Мир», 1965. – С. 165.
2. Гашков С.Б. Геометрические неравенства. Путеводитель в задачах и теоремах. – М.: Изд-во «Книжный дом «Либроком»», 2013. – 258 с.
3. Крыжановский Д.А., Изопериметры. Максимальные и минимальные свойства геометрических фигур. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. – 116 с.
4. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 212 с.
5. Сивашинский И. Х. Неравенства в задачах. – М.: Наука. – С. 303.
6. Тот Л.Ф. Расположения на плоскости, на сфере и в пространстве. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. – С. 363.
7. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE.

В одной из книг венгерского математика Ласло Фейеш Тот[1] «Расположение на плоскости, на сфере и в пространстве» [6] я увидела такую изопериметрическую задачу: «Какое из выпуклых тел, имеющих равные по величине поверхности, имеют наибольший объем?» Меня данная задача заинтересовала, и я решила проверить этот факт на стереометрических фигурах, изучаемых в школьной программе.

Начав создание этой работы, я опиралась на исследование изопериметрического неравенства st1.wmf, которое нашла в одной из литератур. Так как я учусь в одиннадцатом классе, мне бы хотелось получить неравенство для стереометрических фигур. Такого неравенства в школьной программе не нашла, поэтому мне захотелось составить его самой. В итоге я получила st2.wmf.

В процессе доказывания неравенства появилась проблема, которая заключалась в следующем: я не учла, что у S единицы измерения в квадрате, который при возведении во вторую степень площади превращается в четвертую степень, а единицы объема измеряются в третьей степени, т.е. в кубе.

Следовательно, мне нужно было согласовывать единицы измерения и увеличить коэффициент. В итоге, уже после моего выведения, в одной литературе я нашла изопиранное[2] неравенство: st3.wmf, где S – площадь, V – объем, а π – известное иррациональное число, определяемое как отношение длины окружности к его диаметру.

Цель исследования: выяснить истинно или ложно изопиранное неравенство в трехмерном пространстве.

В соответствии с поставленной целью были определены задачи:

Определение объектов исследования (выписать из школьного курса геометрии объемные тела, соответствующие определению стереометрической фигуры, расположить их от простых к более сложным).

Изучение форм площадей и объемов объектов исследования, способов доказательства неравенств.

Доказать неравенства для каждой из рассматриваемых фигур, затем перейти к доказательству в общем виде.

Гипотеза: изопиранное неравенство верно для трехмерного пространства.

В качестве методов исследования применялись: работа с источниками информации, а также практическая работа на доказательства неравенств на конкретных примерах.

Объект исследования – изопиранное неравенство.

Предмет исследования – процесс доказательства неравенств.

Теоретическая и практическая значимость результатов данной работы – это применение данного материала на уроках математики, на внеурочной деятельности и использование приводимого мною неравенства для практического применения. Основными компонентами работы являются доступность, практическая направленность изучаемого материала.

1. Теоретические сведения о геометрических фигурах в пространстве

1.1. Многогранники

Для лучшего понимания напомним некоторые сведения о многогранниках и дадим каждому многограннику наглядное описание.

Куб представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и все они – равные квадраты. У куба 12 равных ребер и 8 вершин (см. приложение 1).

st4.wmf;

st5.wmf.

Параллелепипед представляет собой многогранник, у которого шесть граней, и каждая из них – параллелограмм. Параллелепипед может быть прямым (см. приложение) или наклонным (см. приложение 2).

st6.wmf;

st7.wmf.

Пирамида представляет собой многогранник, одна грань которого, называемая основанием пирамиды, – некоторый выпуклый n-угольник, а остальные n граней – треугольники с общей вершиной (см. приложение 3). Эта общая вершина называется вершиной пирамиды, а треугольники – боковыми гранями пирамиды.

st8.wmf;

st9.wmf.

Призма представляет собой многогранник, две грани которого, называемые основаниями призмы, – равные n-угольники, а все остальные n граней – параллелограммы. Они называются боковыми гранями призмы. Призма может быть прямой (см. приложение 4) или наклонной (см. приложение 5). У прямой призмы все боковые грани – прямоугольники, у наклонной призмы хотя бы одна грань – параллелограмм, не являющийся прямоугольником.

st10.wmf;

st11.wmf.

1.2. Тела вращения

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её (см. приложение 6).

st12.wmf

st13.wmf.

Конус – тело в евклидовом пространстве, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, имеющую ограниченный объём и полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание) (см. приложение 7).

st14.wmf

st15.wmf

Шаром называется множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки – центра шара – не превосходит данного положительного числа, которое называется радиусом шара (см. приложение 8).

st16.wmf

st17.wmf

Сферой называется множество всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром сферы, на одно и то же расстояние (см. приложение). Отрезок, соединяющий любую точку сферы с ее центром, называется радиусом сферы. Радиусом сферы называют также расстояние от любой точки сферы до ее центра. Для сферы, как и для окружности, определяются хорды и диаметр (см. приложение 9).

1.3. Неравенство Коши в Евклидовом пространстве[3]

Огюстен Луи Коши (1789–1857) – французский математик, основоположник теории аналитических функций.

Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического – это неравенство называется неравенством Коши: если

st18.wmf, то st19.wmf.

Неравенство Коши часто используют при доказательстве других неравенств. А само оно доказывается так:

составим разность st20.wmf.

Имеем:

st21.wmf.

Неравенство st22.wmf верно при любых неотрицательных значениях x и y. Значит,

st23.wmf,

причем равенство имеет место лишь в случае x = y.

Из неравенства Коши, в частности, следует неравенство st24.wmf, справедливое для всех x > 0.

В более общем виде: для неотрицательных чисел st25.wmf справедливо неравенство между их средним арифметическим и средним геометрическим

st26.wmf,

причем равенство возможно лишь при условии st27.wmf.

Вывод. Все стереометрические тела, рассматриваемые в школьном курсе геометрии, имеют свои свойства и формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности и их объем.

2. Изопиранное неравенство

Рассмотрим доказательство изопиранного неравенства

st28.wmf

на конкретных фигурах, затем перейдем к доказательству в общем виде.

2.1. Изопиранное неравенство для многогранников

1. Доказательство неравенства для куба

st29.wmf

st30.wmf

st31.wmf

Подставим данные формулы в неравенство, получим:

st32.wmf

Разделим обе части неравенства на 36a2 получим: (верно)

st33.wmf.

2. Доказательство неравенства для прямоугольного параллелепипеда

st34.wmf

st35.wmf

st36.wmf

Заменим π на 4 (Если неравенство будет выполняться при 4, то оно будет выполняться и при π):

st37.wmf

st38.wmf

Разделим обе части неравенства на 8, получим:

st39.wmf.

Извлечем корень 3 степени:

st40.wmf (1)

Докажем это неравенство с помощью неравенства Коши (среднее арифметическое не меньше среднего геометрического):

st41.wmf,

умножим на 3:

st42.wmf

и внесем 3 под корень:

st43.wmf (2)

Мне нужно доказать, что

st44.wmf

Так как в (1) и (2) неравенствах левые части одинаковые, следовательно, надо доказать, что:

st45.wmf.

Разделим на st46.wmf получим:

27≥18 (верно)

3. Доказательство неравенства для треугольной правильной призмы

st47.wmf

st48.wmf

st49.wmf

Сразу заменим π на 4:

st50.wmf

Извлечем корень:

st51.wmf (3)

Воспользуемся неравенством Коши, предварительно разбив: st53.wmf

st54.wmf.

Умножим на 3 и сразу внесем тройку под знак корня:

st55.wmf (4)

Левые части неравенств (3) и (4) равны, следовательно, можно сравнить правые части этих неравенств:

st56.wmf.

Разделим обе части на st57.wmf получим

st58.wmf (верно).

4. Доказательство неравенства для правильной треугольной пирамиды

st59.wmf

st60.wmf.

Заменим π на 4:

st61.wmf.

Заменим

st62.wmf

(по теореме Пифагора) и извлечем корень:

st63.wmf. (9)

Воспользуемся неравенством Коши как делали ранее, разбив

st64.wmf

st65.wmf (10)

Сравним правые части неравенств (9) и (10):

st66.wmf

Занесем st67.wmf в левую часть, получим:

st68.wmf

st69.wmf

Полученное неравенство верно т.к. в левой части положительное число, а в правой – отрицательное.

Доказательство неравенства для правильной четырехугольной пирамиды

st70.wmf

st71.wmf

Заменим π на 4:

st72.wmf.

Заменим st73.wmf (теорема Пифагора) и извлечем корень:

st74.wmf (11)

Воспользуемся теоремой Коши, разбив

st75.wmf:

st76.wmf

Умножим обе части неравенства на 3 и внесем тройку под знак корня в правой части неравенства:

st77.wmf (12)

Сравним подкоренные выражения в правых частях полученных неравенств (11) и (12):

st78.wmf

st79.wmf (верно)

2.2. Изопиранное неравенство для тел вращения

1. Доказательство неравенства для цилиндра

st80.wmf

st81.wmf, st82.wmf.

Сразу заменим π на 4 в правой части неравенства:

st83.wmf

Извлечем корень из каждой части неравенства, получим:

st84.wmf (5)

Воспользуемся неравенством Коши, предварительно разбив

st85.wmf

и выполнив манипуляции с тройкой, какие мы делали ранее:

st86.wmf (6)

А далее сравним правые части неравенств, как делали ранее:

st87.wmf,

разделим обе части на st88.wmf:

st89.wmf, (верно)

2. Доказательство неравенства для конуса

st90.wmf

st91.wmf.

Заменим π на 4 в правой части неравенства:

st92.wmf,

st93.wmf.

Заменим st94.wmf (по теореме Пифагора), раскроем после подстановки скобки и извлечем корень:

st95.wmf (7)

Воспользуемся неравенством Коши как в предыдущих случаях, разбив

st96.wmf

st97.wmf (8)

Сравним правые части неравенств (7) и (8):

st98.wmf,

перенесем st99.wmf в левую часть и вынесем st100.wmf за скобки:

st101.wmf

неравенство верно, т.к. в левой его части положительное число, а в правой части – отрицательное.

3. Доказательство неравенства для шара (сферы)

st102.wmf

st103.wmf

st104.wmf (верно).

2.3. Доказательство неравенства в общем виде

Докажем это утверждение методом от противного. Предположим, что найдется хотя бы одна стереометрическая фигура, для которой не выполняется наше неравенство, а выполняется противоположное: st105.wmf, отсюда st106.wmf, это означает, что объем может принять в качестве наименьшего значения st107.wmf а мы знаем, что это есть наибольшее значение площади, соответствующее единственной фигуре – шару.

Действительно, как мы видели, для шара:

st108.wmf

Получили противоречие:

V не может быть больше, чем st111.wmf , значит, st112.wmf всегда.

2.4. Применение изопиранного неравенства к стереометрическим фигурам

Задача 1. Докажите неравенство для прямого параллелепипеда, в основании которого ромб.

st113.wmf

st114.wmf

Опять же сразу заменим π на 4:

st115.wmf,

извлечем корень:

st116.wmf

Воспользуемся неравенством Коши, предварительно разбив

st117.wmf:

st118.wmf,

умножим на 3, занесем 3 под знак корня и сравним правую часть из неравенства Коши и неравенства, доказуемого мною:

st119.wmf,

разделим на st120.wmf:

st121.wmf,

т.к. наибольшее возможное значение st122.wmf, получившееся неравенство верно.

Задача 2. Докажите неравенство для прямого параллелепипеда, в основании которого параллелограмм.

st123.wmf

st124.wmf,

Заменим π на 4:

st125.wmf,

Разделим обе части на 8, извлечем корень:

st126.wmf,

Воспользуемся неравенством Коши:

st127.wmf,

опять же умножим на 3, внесем ее под корень, сравним правые части неравенств:

st128.wmf.

Разделим на st129.wmf: st130.wmf т.к. наибольшее возможное значение st131.wmf, полученное неравенство верно.

Задача 3. Докажите изопиранное неравенство для прямоугольной равнобедренной пирамиды, высота которой совпадает с боковым ребром.

st132.wmf

st133.wmf

st134.wmf, заменим π на 4:

st135.wmf,

сократим на st136.wmf:

st137.wmf (верно).

Задача 4. Докажите изопиранное неравенство для прямоугольной равнобедренной пирамиды, высота которой падает в центр описанной около основания окружности.

st138.wmf,

st139.wmf,

заменим π на 4:

st140.wmf,

Извлечем корень:

st141.wmf

Воспользуемся неравенством Коши, сразу умножив обе части неравенства на 3:

st142.wmf,

т.к. левые части у нас одинаковые, можно сравнить правые:

st143.wmf

Заменим

st144.wmf

(Прямоугольный треугольник и радиус описанной окружности),

st145.wmf

перенесем st146.wmf влево, получим:

st147.wmf (верно).

Задача 5. Докажите изопиранное неравенство для прямоугольной равнобедренной пирамиды, высота которой падает в центр вписанной окружности.

st148.wmf

st149.wmf,

сразу заменим π на 4:

st150.wmf.

Извлечем корень:

st151.wmf

Воспользуемся неравенством Коши:

st152.wmf

Умножим обе части на 3 и внесем в правой части 3 под корень:

st153.wmf

Сравним правые части как делали ранее:

st154.wmf

Заменим

st155.wmf

и умножим обе части на 4:

st156.wmf

st157.wmf,

(верно, т.к. слева положительное число, а справа – отрицательное).

Вывод: таким образом, изопиранное неравенство верно для всех стереометрических фигур. Суть изопиранного неравенства: если дан ряд стереометрических тел с одинаковой площадью, наибольший объем будет иметь шар. И наоборот: если дан ряд стереометрических тел с одинаковым объемом, наименьшую площадь будет иметь шар (сфера).

Заключение

В процессе исследовательской работы были решены поставленные задачи и получены следующие результаты и выводы:

Доказала справедливость неравенства для стереометрических фигур изучаемых в школьной программе. st158.wmf

2. Доказала справедливость данного соотношения в общем виде, а также доказала факт превращения этого неравенства в истинное равенство для сферы или шара.

3. Провела статистическую обработку данных на применение известных теорем для доказательства изопиранного неравенства для стереометрических фигур (см. приложение 10).

В процессе проведенного исследования гипотеза, о том, что изопиранное неравенство верно для трехмерного пространства, подтверждена.

Приложения

Приложение 1

Куб

step-1.tif

Приложение 2

Параллелепипед

step-2.tif

Приложение 3

Пирамида

step-3.tif

Приложение 4

Призма

step-4.tif

Приложение 5

Наклонная призма

step-5.tif

Приложение 6

Цилиндр

step-6.tif

Приложение 7

Конус

step-6a.tif

Приложение 8

Шар

step-7.tif

Приложение 9

Сфера

step-8.tif

Приложение 10

Применение известных теорем для доказательства неравенств стереометрических фигур

Применение неравенства Коши

Применение теоремы Пифагора

Использование метода от противного

10

3

1

step-9.tif

Применение известных теорем для доказательства неравенств стереометрических фигур

[1]Ласло Фейеш Тот (Сегеда, 12 марта 1915 — Будапешт, 17 марта 2005) — венгерский математик. Наряду с Коксетером и Эрдёшем, Фейеш Тот считается родоначальником комбинаторной геометрии.

[2]Изопиранное неравенство – это общий термин для обозначения неравенства между объемом и площадью плоской поверхности.

[3]Евкли́дово простра́нство (также эвкли́дово простра́нство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3.


Библиографическая ссылка

Степанова Д.А. ИЗОПИРАННОЕ НЕРАВЕНСТВО // Международный школьный научный вестник. – 2019. – № 1-3. – С. 394-402;
URL: http://school-herald.ru/ru/article/view?id=898 (дата обращения: 26.11.2020).